1) Геометричні фрактали.
Фрактали цього класу найнаочніші. B двовимірному випадку їх одержують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), названої генератором. За один крок алгоритму кожний з відрізків, що становлять ламану, заміняється на ломану-генератор, у відповідному масштабі. B результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.
Розглянемо один з таких фрактальних об'єктів — триадну криву Коха. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини (Рис. 3.1) — це нульове покоління кривої Коха. Далі кожна ланка (у нульовому поколінні один відрізок) заміняється на утворюючий елемент, позначений на малюнку через n = 1. B результаті такої заміни виходить наступне покоління кривої Коха.
Рис. 3.1. Побудова триадної кривої Коха
B 1-ому поколінні — це крива із чотирьох прямолінійних ланок, кожне довжиною по 1/3. Для одержання 3-го покоління робляться ті ж дії — кожна ланка заміняється зменшеним утворюючим елементом. Отже, для одержання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається предфракталом. Hа мал. 3.1 представлені п'ять поколінь кривої. При n, що прагне до нескінченності, крива Коха стає фрактальним об'єктом.
Для одержання іншого фрактального об'єкта потрібно змінити правила побудови (Рис. 3.2).
2) Алгебраїчні фрактали.
Це найбільша група фракталів. Одержують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двовимірні процеси.
Якщо нелінійна динамічна система володіє декількома стійкими станами, то кожний стійкий стан має деяку область початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у розглянуті кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області притягання аттракторів. Фарбуючи області притягання різними кольорами, можна одержати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна одержати складні фрактальні картини з вигадливими багатобарвними візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.
B якості приклада розглянемо множину Мандельброта (Рис. 3.3 і 3.4). Алгоритм його побудови досить простий і заснований на простому ітеративному вираженні:
де Z[i] і C — комплексні змінні.
Ітерації виконуються для кожної стартової крапки C прямокутної або квадратної області на комплексній площині.
Ітераційний процес триває доти, поки Z[i] не вийде за межі окружності радіуса 2, центр якої лежить у крапці (0,0), (це буде означати, що аттрактор динамічної системи перебуває в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад, 200 — 500) Z[i] зійдеться до якої-небудь крапки окружності. B залежності від кількості ітерацій, у плині яких Z[i] залишалася усередині окружності, можна встановити кольори крапки C (якщо Z[i] залишається усередині окружності протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється й ця крапка растра офарблюється в чорні кольори).
Описаний алгоритм дає наближення до так називаної множини Мандельброта. Множині Мандельброта належать крапки, які протягом нескінченного числа ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорні кольори). Крапки, що належать границі множини (саме там виникають складні структури), ідуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а крапки, що лежать за межами множини, ідуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).