II. Размытые отношения*

Итак, пространство Х — евклидово пространство раз­мерности и.

Определение 1. Размытым отношением Л в простран­стве Х называется размытое подмножество Л прост­ранства XXX [31.

• Более подробно понятие проекция размытого множества и его граней представлено в статье |[8'1.

* Этот раздел представлен схематично, поскольку предпола­гается .некоторое знакомство с бинарными отношениями, рас­смотренными в [101.

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ . НТИ . СЕР. 2 . N5 10 . 1976 17

3—6746

Содержательный смысл такого определения состоит в том, что выбор подмножества А в пространстве XXX определяет, какие пары (х, у) с какой степенью принад­лежности входят в А. Другими словами, для каких пар справедливо соотношение хАу, где А — размытое мно­жество. Например, 1) отношение, обозначаемое через ^>У (х, у(^Х), можно рассматривать как размытое множество А в Х XX с функцией вхождения !л(х,у), имеющей следующие значения:

/Л (10,5) = 0; /д (100,10)^0,7; /^(100,1) = 0,9 и т. д.;

2) при построении информационных языков методом дистрибутивно-статистического анализа связи между терминами тезауруса можно рассматривать как зада­ние различных га-арных размытых отношений на мно-' жестве терминов (см. ниже определение 3). Говоря более формально, размытым отношением назы­вается упорядоченная пара <А, Х>, где ^—множест­во, на котором определено отношение (область зада­ния), а А (А^ХхХ)—множество пар, для которых это отношение выполнено.

В связи с тем, что частным случаем отношений счи­таются и функции, приводим ряд определений, связан­ных с областью значения размытого отношения А и с областью определения его.

Определение 2. Областью значения размытого отно­шения А (гап А) называется размытое множество с функцией вхождения:

Лап^^У/л^, У).

Примечание. В этом разделе Л. Заде применяет символ V ' (•реже тах) для обозначения наибольших значений функции вхождения при переборе (в ладном случае по всем я).

Областью определения размытого отношения А •(йот А) называется размытое множество с функцией вхождения:

у/а^.у)-У

ЛотА (^х) ••

Вес размытого отношения А (А (А)) определяется сле­дующим образом: /^(А)=VV/А(•Iс, у). х у

Размытое отношение называется поднормальным, ес­ли /1(А)<1, и нормальным, если /г(А)=1.

Носителем размытого отношения А (Я (А)) называет­ся неразмытое подмножество множества ХхХ, для ко­торого /а (х, у)>0.

Поясним необходимость перебора на примере. Пусть бинарное размытое отношение Л задано матричным об­разом и степени вхождения пар (хг, у,} сведены в таблицу:

	vi	У1		^
'., д:!	/Л(^1У>)	Щ.»^)		^(-"^й)
х,	/А(^1^1)	?Л<^Уа)		}А(х^»Iг)
. . .		. . .	...	. . .
• Ч	Гл(«^)	^Л^У')		?Л<^й)

Область значения — это размытое множество гап А, объекты которого (/(убгапА) заданы, степенями вхож­дения, полученными нахождением наибольших значений

в каждом столбце таблицы. Тогда как область опреде­ления—это размытое множество йот А, объекты кото­рого х (лбДотА) заданы своими степенями вхождения, полученными путем нахождения наибольших значений по всем строкам таблицы.

Следует отметить, что Л. Заде вводит определения 2 не соотнося их с понятием размытой функции, хотя под графиком размытого отношения можно понимать его носитель (ср. [10, с. 14, 21]).

Поскольку в математике рассматривают также тер­нарные и вообще п-арные отношения, то вводится:

Определение 3. ге-арное размытое отношение опреде­ляется как размытое множество А в пространстве

ХХХХ...ХХ.

•—^ п раз Для таких отношений функция вхождения имеет вид:

!л(х1, хг,..., Хп), где х^Х, (=1, 2,... Исходя из операций над размытыми множествами, можно определить ряд операций над раамытымв отно­шениями!. Пусть А и В — два размытых отношен&я в

•пространстве X. Каждому из них соответствует некото­рое множество пар (подмножества А^ХхХ и В= ^ХхХ} м указаны степени пртоадлежяости каждой па1р'ы' соответствующему мноиоеству Цл(х,у) и }в(х,у)].

Определение 4. Объединением раамытых отношений А и В навывается равмытое отношение С==А[)В, опреде­ляемое объединением соответствующих 'подмножеств.

Ясно, что /с^тахУл, ^в].

Определение 5. Пересечением размытых отношении А . и В называется размытое отношение С==АПВ, опре­деляемое пересечением соответствующих пюдмножеств. Пересечение определяется функцией вхождения ^с=¹ =ттУл, ^в1.

•Пример. Пусть Х — множество действительных чисел, А — размытое отношение «быть не меньше» на множест­ве пар. {(10,5), (100,10), (100,1')}, .8—-размытое отно­шение «быть не равным» на {(6,4), (10,5), (100,10), (100,1)}. Тогда апв есть размытое отношеиие «быть строго больше».

ГА(10,5)=0 га (100,10) =0,7 га (100,1) =0,9.

М6,4) =0 ^в (10,5) =0,2 !в (100,10) =0,8 !в (100,1) =0,85.

^с(6,4)=0 ^с(10,5)=0 ^(100,10) =0,7 Гс (100,1) =0,85.

Для размытых отношений можно определить понятие включения:

Определение 6. АгВ выполняется в том случае, если равмытое множество пар, для 'которых выполнено пер­вое отношение, содержится во множестве тех дар, для которых выполнено отношение В, т. е, ^л^в.

Можно ввести некоторые операции над размытыми отношениями, не сводящиеся непосредственно к теоре­тико-множественным.

Определение 7. Если А — размытое отношение в про­странстве X, то обратное размытое отношение А-¹ определяется условием: ?А~'=1—{л--

Определение 8. Произведение размытых отношений Л

•и В обозначается АВ и определяется через функции вхождения ^ав^а^в. Для произведения размытых отно­шений оказывается справедливым ассоциативный и дис­трибутивный законы:

(ЛВ)С=А(ВС).

(лив)с=(лс)и(вс).

Введена композиция двух размытых отношений Л и В. Она обозначается через Л°В и определяется как размытое отношение в Х с. функцией вхождения

^АоВ'-

/д„д (л,у)=тахотш[/д(^, v), /д(1», у)},

'.(в

НТИ

(СЕР. 2 . На К) . 1976 . ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

где тах означает перебор по всем v. п-арная компо­зиция АоА°...°А обозначается через Л". Для компо­зиции справедливы следующие законы:

Л°(В°С)=(Л°В)°С.

л°(вис)=л°5и^°с.

Лс:В=^С°Лс:С°Д.

Для размытых отношений также определяется операция транзитивного замыкания А: соотношение хАу считается выполненным, если существует цепочка элеиеятов из Х (ху, х\,..., Хп) такая, что между соседями в этой цепочке выполнено отношение Л, т. е. заданы степени вхождения пар (х{, дсц-О во множество Л:

и(хй, х\); щхь хц}:...и(хп-1, хп).

Можно показать, что травзитивиое замыкание размы­того отношения Л есть объединение всех степеней этого отношения ЛзД^ЛиЛ^Л^ ... Щ'Ц • •• По определе­нию, сила связи цепочки (хц, х\,..., Хл) р'авна тш{}л(хо, XI), и(Х1, х^),...,и{Хп-1, Хп)}. Условие транзитивности принимает следующую формулировку:

степень вхождения х^ '» X) в Л «I, /> элемент компо­зиции А¹) равна силе связи цепи наибольшей длины из х^ в X]. Особемвостью размытых отношений является тот факт, что с иос помощью можно определять уровне-вое множество и записать условие разрешимости.

Определение 9. Для а6[0, I], а—уровневое множе­ство размытого отношения Л обозначается Лд. и является неразмытым множеством в Х><Х:Л^«= = {(^х' У) 1 /л (^х' У) ^> "}• Понятно, что а.1 > а-г^А^а СЛд . В примере 3 (с. 15) уровневые множества об"

разуют объекты, которым соответствует один и тот же ранг. Для любого размытого отношения можно за­писать условие разрешимости множества: Л==иаЛд,

а где 0<а< 1 и аЛд является неразмытым множеством,

определяемым через функцию вхождения;

/ (г »\= [^а" ^для ^'^^ '^аА"^{^}'^{^}'^/ 10, для (х, г/)6Л-,.

В качестве простой иллюстрации этой теоремы приве­дем матрицу, соответствующую отношению на множе­стве из трех элементов:

1 0,8 О 0,6 1 0,9 0,8 0 1

Тогда условие разрешимости записывается в виде:

Л = 0,6 {(Х^Х,), (х^Хч), (х^Х,)(х^)(Х.,Ха)(ХгХ^(Х,Х1)}+

+0,8{(^1Л-1), (л-,л-з), (х^)(х^)(х^)(ХзХз)}+

+0,9{(Х,Х1}, (Х^), (х^Хз) (Х^Х,)} +

+ 1 {(х^х,), (х^), (х,х,)}.

В [10] рассмотрены три типа отношений: отношение эквивалентности, отношение толерантности и отношение порядка. Конструктивно отношение эквивалентности Л (симметричное, рефлексивное, транзитивное) определяет­ся заданием системы непересекающихся подмножеств;

при этом соотношение хАу выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат некоторому подмдю-жеству — классу эквивалентности.

Во многих прикяащных задачах условие непересечения подмножеств оказывается слишком жестким и прихо­дится строить последовательность пересекающихся клас­сов. Формально это может быть достигнуто путем ослабления свойства транзитивности в определении эквивалентности (ом. определение 10).

Определение 10. Отношение Л называется отношени­ем размытого подобия, если оно рефлексивно: /а (х,х) ==1 для всех х, принадлежащих области задания; симмет­рично: /л (х, у)^а{А(у, х) дли всех х, у; траяаитивно.:

/а {х, 2)>тахуттУА(х, У), {л(у, г}] дли всех х, у, г.. Последнее условие равносильно записи Л=эЛоЛ.

В качестве примера приведем матрицу 'подобия для шести элементов Х=(х\, Хг, д:з, х^, хэ, Хе}. 1 0,2 1 0,6 0,2 0 6 0,2 1 0,2 0,2 0,8 0 2 1 0,2 1 0,6 0,2 0 6 0,6 0,2 0,6 1 0,2 0 8 0,2 0,8 0,2 0,2 1 02 0,6 0,2 0,6 0,8 0,2 1

Выпишем уровневые множества, соответствующие а,, Ста' "в! "4. Ло^^и-Уц х^, л'з, л'4, д'5' -^в)}

^0,6° {(-^б), (Х1Х^Х^)} ^.8 ={(-ад>), (ХлХ,), (Х^Х,)} ^А^,0={(^х^)^ (^х*)' (^х^' (^х^' (^г»-

Лепко показать, что если! Л есть отношение размытого подобия, то множества Ла являются классами эквива­лентности.

Доказательство:

1) поскольку /а (х, х)==1 для всех хбсЬтЛ, то (х, х} бЛо для всех <х6[0,1} <а, следоваггельно, Ло рефлексив­но для всех а;

2) для любого а6[0,1] и (х, у)еЛ„, в силу симмет-ригавостй отношения Л следует: /а (у, х):^а. Следова­тельно, (у, -с)бЛа, т> е. Ла—симметричное отношеиие для всех а;

3) для любого аб[0,1] ^предположим (XI, х^^Ау. н (хг, хз)бЛа. В силу определ.ения 9, ^(.^1, хг)^а и /А(<2> ^«)>а и, в силу транзитивяосяя^ Л, Щх^^а. <гго оэнвяает, что («I, -сз)€Лв); знаяит, Ла—транвигпив-но для всех та;

Рассмаггривая отиошение-размытого подобия на мно­жестве объектов, можно получить разбиение его на классы эквивалентности с формально определенным» границами между нгмн., щри этом в классы включаются. те пары объектов (х, у), степень вхождения которых лежит в данном интервале: 0^ои^л(х, (/)г$а(+ц$1, где аг, «1+1—пороги отбора в классы, эквивалентности. На практике, .когда матрица подобия имеет очень боль­шую размерность, пороги отбора определяются с помо­щью весов размытых множеств — классов подобия — следующим образом.

Пусть Л—размытое отношение подобия в X=^:{х^, Х1,...,Хп}, характеризуемое функцией вхождения }л(х„ X)). С каждым х^Х ассоциируется класс подо^ бия, обоаяагааемый Л [х<]. Этот класс является размы­тым множеством в Х с функцией вхождения:

?А[«г](^^=/А(Х(, х,}. Пусть А[х,} и Л[^] — произвольные классы подобия. Тогда вес пере­сечения А[Хг] и А[хЛ опраничев величиной }а(х{, X)), т. е. ЦА[х1\[\А{х^)^А(.хг, х,). В сипу рефлексивности размытого отношения подобия последнее условие ста­новится равенством. При этом число необходимых пере-

ечаиий равно —п—— . Упорядоченный набор весов

дает пороги отбора в уровневые множества Лд. Если пользоваться терминологией теории распознавания обра­зов, то задана нахождения порогов равносильна по­строению разделяющих поверхностей для каждой пары гиперплоскостей [II]. Зная определения отношений порядка, летко дать аксиоматические определения отно­шений размытого порядка.