11. Елементи теорії алгоритмів. Машина Тьюринга. (2 год.)

МАШИНА ТЬЮРИНГА

Вопрос: можно ли уточнить непосредственно само понятие алгоритма, а затем с его помощью определить и класс вычислимых функций?

Это было сделано в 1936-37 гг. Постом и Тьюрингом независимо друг от друга.

Основная мысль Поста и Тьюринга заключалась в том, что алгоритмические процессы - это процессы, которые может совершать подходяще устроенная "машина". В соответствии с этим ими с помощью точных математических терминов были описаны довольно узкие классы машин. На этих машинах оказалось возможным осуществить или имитировать все алгоритмические процессы, которые фактически когда-либо описывались математиками.

Машины, введенные Постом и Тьюрингом, отличались не очень существенно, и в дальнейшем стали называться машинами Тьюринга.

Под машинами Поста и Тьюринга понимается некоторая гипотетическая (условная ) машина, состоящая из следующих частей:

информационной ленты, представляющей собой бесконечную (неограниченную) память машины, разделенную на отдельные ячейки. В каждой ячейке можно поместить лишь один символ, в том числе и нуль;

"считывающей головки" - специального чувствительного элемента, способного обозревать содержимое ячеек. Вдоль головки информационная лента перемещается в обе стороны так, чтобы в каждый рассматриваемый момент времени головка находилась в одной определенной ячейке ленты;

управляющего устройства, которое в каждый рассматриваемый момент находится в некотором "состоянии". Предполагается, что устройство управления машины может находиться в некотором конечном числе состояний. Состояние устройства управления часто называют внутренним состоянием машины. Одно из этих состояний называется заключительным и в работе машины играет особую роль, так как оно управляет окончанием работы машины.

Схематически машина представлена на рис.1.

q

j

Рис. 1.

В алгоритмической системе Поста информация представляется в двоичном алфавите.

Таким образом, в каждой ячейке информационной ленты можно поместить либо 0, либо 1. Алгоритм представляется в виде конечного упорядоченного набора правил, называемых приказами. Работа алгоритма начинается с некоторой начальной ячейки, соответствующей первому приказу алгоритма. Составляющие алгоритм приказы могут принадлежать к одному из 6, выполняемых машиной Поста:

1. Записать в рассматриваемую ячейку 1 и перейти к j- тому приказу.

2. Записать в рассматриваемую ячейку 0 и перейти к i- тому приказу.

3. Сдвинуть ленту вправо на одну ячейку и приступить к выполнению i- того приказа.

4. Сдвинуть ленту влево на одну ячейку и приступить к выполнению i- того приказа.

5. Если в рассматриваемой ячейке записана 1, то перейти к выполнению j-того приказа, а если записан 0, то перейти к выполнению i- того приказа.

6. Окончание работы алгоритма, остановка.

Таким образом, алгоритмическая машина Поста представляет собой машину с информационной лентой, содержащей в каждой ячейке либо 0, либо1; с лентой, перемещающейся влево и вправо вдоль головки; с устройством управления, выполняющим 6 приказов (с внутренними состояниями).

Алгоритмы, составленные из любого конечного числа правил, представленных приказами машины Поста, называются алгоритмами Поста. Доказано, что алгоритмы Поста сводятся к алгоритмам, реализуемым с помощью частично рекурсивных функций, и наоборот, любая частично рекурсивная функция может быть представлена алгоритмом системы Поста..

В отличие от машины Поста в каждой ячейке машины Тьюринга может находиться один из символов некоторого конечного алфавита, а устройство управления может быть в одном из конечных состояний. Другими словами, машина Тьюринга, работая в произвольном конечном алфавите, может выполнять некоторое конечное количество приказов. При этом машины Тьюринга, как и машины Поста, могут сдвигать ленту на одну ячейку вправо или влево, оставляя содержимое ячеек неизменным, или могут заменять состояние воспринимаемой ячейки, оставляя ленту неподвижной.

Пусть алфавит машины Тьюринга задан в виде множества А= {s₀ , s_i , ... s_n}, где s₀ соответствует пустой ячейке, а число состояний устройства задано в виде множества

Q = {q₀ , q_i, ... q_m}, где q₀ соответствует заключительному состоянию.

Конечная совокупность символов алфавита, с которой работает машина, называется внешним алфавитом, конечная совокупность состояний устройства управления - внутренним алфавитом.

Совокупность, образованная последовательностью состояний всех ячеек ленты и состоянием устройства управления, называется конфигурацией машины. Конфигурация задается в виде слова, описывающего конкретное состояние машины.

Если машина Тьюринга, находясь в состоянии q_i , и воспринимая записанный на ленте символ s_k , переходит в новое состояние q_j , осуществляя при этом замену символа в рассматриваемой ячейке на символ s_m и сдвиг ленты на одну ячейку, то говорят, что машина выполняет команду q_i s_k  q_j s_mЛ. Если замены не происходит, s_m может в команде отсутствовать.

При манипуляциях с лентой принимаются следующие обозначения:¹⁶

Л - движение ленты влево;

П - движение ленты вправо;

С - нет движения ленты (стоп).

Рассмотрим пример машины Тьюринга с алфавитами А = {0,1}, Q = { q_0, q₁ } и командами:

q₁1q₁1Л,

q₁0, q₀1С.

Пусть на ленте имеется слово 11100. Головка расположена над первой слева единицей. В результате работы машины Тьюринга это слово превращается в 11110. По окончании работы машины головка стоит над крайней правой единицей.

Совокупность всех команд, которые может выполнять машина, называется ее программой.

Будем считать машину Тьюринга заданной, если заданы ее внешний и внутренний алфавиты, программа, начальная конфигурация и указано, какие из символов обозначают пустую ячейку и заключительное состояние.

Пусть машина Тьюринга задана внешним алфавитом А= {s₀ , a, b, c, d} и внутренним алфавитом Q = {q₀ , q₁, q₂ , q₃ , q₄ , q₅}, и совокупностью команд

q₀ a q₁ aЛ, q₀ b q₀ bЛ, q₂ a q₅ dП, q₀ c q₀ cЛ, q₁ d q₂ cП, q₃ a q₄ dП, q₄ b q₂ cП.

Пустую ячейку обозначает символ s₀ , а заключительное состояние - q₅.

Рапссмотри применение данной машины Тьюринга для переработки исходного слова bcadc, которое даст нам слово bcdcc. Начальная конфигурация имеет вид q₀bcadc, при этоммашиной будет порождена следующая последовательность конфигураций:

1 шаг bq₀cadc, результат выполнения команды (q₀ b  q₀bЛ)

2 шаг (q₀ c  q₀ cЛ)

3 шаг (q₀ a  q₁ aЛ)

4 шаг (q₁ d  q₂ cП)

5 шаг (q₂ a  q₅ dП)

Программа рассмотренной машины Тьюринга может быть представлена в виде таблицы соответствия:

А Q	s0	a	b	c	d
q0		q1 aЛ	q0bЛ	q0 cЛ	-
q1		-	-	-	q2 cЛ
q2		q5 dП	-	-	-
q3		q4 dП	-	-	q2 bП
q4		-	-	-	-
q5	Останов

Запись алгоритма, реализуемого машиной Тьюринга, производится с помощью работы этой машины, представляющей собой совокупность команд. В рассматриваемом примере алгоритм переработки входного слова bcadc в слово bcdcc представляется командами:

(q₀ b  q₀bЛ), (q₀ c  q₀ cЛ), (q₀ a  q₁ aЛ), (q₁ d  q₂ cП), (q₂ a  q₅ dП).

Алгоритмы пишутся столбцами. Для контроля против некоторых команд указывается слово, в которое переходит первоначально заданное слово после выполнения всех предыдущих команд, включая и стоящую слева команду.

Рассмотрим в качестве примера алгоритм переноса нуля для машины Тьюринга, программа которой задана следующей таблицей соответствия:

А Q	0	1
q0	q0 0C	q01C
q1	q2Л	-
q2	q31С	-
q3	q4П	q3Л
q4	-	q50C
q5	q6П	-
q6	q0 0C	q6П

Команды Конфигурация

q10 q2Л	0q2 010
q20 q31С	0q3 110
q3 1 q3Л	01q310  011q30
q3 0 q4П	01 q4 10
q4 1 q50С	01 q5 00
q50 q6П	0 q6 100
q61 q6 П	q6 0100
q6 0 q00С	q0 0100

Как было показано, на машинах Тьюринга оказалось возможным осуществить или имитировать все алгоритмические процессы, которые когда-либо описывались математиками. Было доказано, что класс функций, вычислимый на этих машинах, точно совпадает с классом всех частично рекурсивных функций.

Вопрос о возможности или невозможности разрешающего алгоритма для задачи того или иного типа следует понимать как вопрос о существовании или несуществовании машины Тьюринга, обладающей нужным свойством.

Рассмотрим еще пример (здесь "П" и "Л" означают перемещение головки, а не ленты).

Как видно из таблицы, управляющее устройство может находиться в трех различных состояниях. Состояние q₀ особое. Оно соответствует выключенной машине.

	q0	q1	q2
0	q0 0 С	q1 П	q01 С
1	q2 1 С	q2 П	q2 1 П
+	q0+ С		q01 С

Как видно из первого столбца таблицы, в состоянии q₀ символы на ленте сохраняются неизменными, само состояние не меняется, и движения нет (С - стоп). Два других состояния - рабочие. Работа машины начинается с того, что управляющее устройство переводится в состояние q₁. При этом слово на ленте справа от местоположения "глаза" управляющего устройства. Пусть, например, имеется исходная ситуация:

00111+1100

q₁ q₁0  q₁0П

Местоположение управляющего устройства отмечено символом состояния q₁. Обратимся к таблице. В состоянии , считав символ 0, машина должна сохранить свое состояние и сдвинуться вправо на одну клетку ленты (П). После этого возникнет ситуация:

00111+1100

q₁ q₁0  q₁0П

Она аналогична предыдущей, и машина Тьюринга на этом такте выполнит сдвиг вправо на одну клетку, сохранив состояние q₁ . В результате возникнет другая ситуация. Считав символ 1 в состоянии q₁, машина стирает его, заменяет на 0, меняет состояние на q₂ и сдвигается вправо на одну клетку ленты. Новая ситуация имеет вид:

00011+1100

q₂ q₁1  q₂0П

В состоянии q₂, как следует из таблицы управления, все символы 1 на ленте сохраняются, состояние q₂ тоже сохраняется, а управляющее устройство сдвигается вправо. Так будет происходить до тех пор, пока не возникнет ситуация:

q₂1  q₂1П

00011+1100

q₂ q₂+  q₀1С

Таблица управления в этой ситуации предписывает заменить + на единицу и прекратить работу.

Окончательная ситуация на ленте:

0001111100. Результат

Какую же работу выполнила машина? Если договориться интерпретировать слова ее входного языка как записи натуральных чисел, а + - как сложение, то машина, заданная таблицей управления, будет осуществлять операцию сложения натуральных чисел.

В примере - 3+2=5.