Тема 2. Множественная регрессия

Расчетные формулы.

2.1. Оценки вектора коэффициентов регрессии:

.

2.2. Стандартизованные коэффициенты регрессии:

.

2.3. Средние коэффициенты эластичности:

.

2.4. Стандартная ошибка уравнения:

.

2.5. Стандартная ошибка параметра уравнения:

,

где диагональный элемент матрицы , находящийся на пересечении ()-й строки и ()-го столбца.

2.6. статистики параметров регрессии:

.

2.7. Парные коэффициенты корреляции:

.

2.8. Множественный коэффициент корреляции:

.

2.9. Множественный коэффициент детерминации:

.

2.10. Скорректированный множественный коэффициент детерминации:

.

2.11. критерий Фишера:

.

Если , где определяется по уровню значимости и числу степеней свободы и , то уравнение регрессии значимо в целом.

2.12. Частные критерии для двухфакторной модели:

.

Если наблюдаемое значение больше , определяемого по заданному уровню значимости и числу степеней свободы и , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправдано. В противном случае – нет.

Решение типовой задачи.

Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего (т), мощности угольного пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля на 10 шахтах:

Табл. 2.1

	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8
	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	5	8	8	5	7	8	6	4	5	7

Требуется:

1. Полагая, что между переменными , и существует линейная корреляционная зависимость, найти её аналитическое выражение (уравнение регрессии). Пояснить экономический смысл коэффициентов регрессии.

2. Установить раздельное влияние на сменную добычу угля двух факторов через стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности.

3. Проверить значимость параметров множественной регрессии и при положительном ответе построить для коэффициентов уравнения регрессии 95% доверительные интервалы.

4. Сравнить значения скорректированного и нескорректированного коэффициентов множественной детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне значимости .

5. С помощью частных критериев оценить целесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора и наоборот – фактора после .

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п
1
10
Сумма
Среднее

Введем исходные данные , , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , , , ,. Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью встроенных функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Сформируем на свободном поле числовые матрицы:

, ,

где элементы матриц берутся из строки "Сумма" таблицы. Лучше задавать элементы матриц, используя знак "=" формулы Excel и щёлкая мышью по соответствующему элементу строки "Сумма", а затем - Enter.

Находим обратную матрицу с использованием встроенной функции МОБР(…). Для этого выделяем на свободном поле ячейки для элементов обратной матрицы размером . При этом все ячейки, кроме левой верхней, будут окрашены голубым цветом. В ней набираем формулу: =МОБР(.: .), где в скобках через двоеточие указываем крайние левый и правый диагональные элементы матрицы . Далее нажимается клавиша F2 клавиатуры и затем одновременно клавиши "CTRL", "SHIFT" и "ENTER". В указанных ячейках появятся элементы искомой обратной матрицы.

По формуле 2.1 находим вектор оценок с помощью встроенной функции МУМНОЖ(.;.). Выделяем на свободном поле ячейки для (это будет вектор размерности ). В строке или в первой ячейке указанного формата набираем формулу =МУМНОЖ(…;…), где вначале щелкаем по элементам обратной матрицы, а затем через ";" – по элементам вектора . Снова нажимается клавиша F2 клавиатуры и затем одновременно клавиши "CTRL", "SHIFT" и "ENTER".

В итоге в отведенном формате имеем вектор оценок:

.

Таким образом, уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид:

.

Из него следует, что при увеличении угольного пласта на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,854 т, а увеличение только уровня механизации на 1% приводит к увеличению в среднем на 0,367 т.

2. Найдем дисперсии и средние квадратические отклонения переменных:

.

Вычислим стандартизованные коэффициенты регрессии по формуле 2.2:

.

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе записывается:

.

Оно показывает, что с ростом фактора на одно при неизменности второго фактора рост добычи угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,724 , а при увеличении только на одно результат увеличивается в среднем на 0,284. Отсюда видно, что первый фактор оказывает большее воздействие на результат, чем второй фактор.

По формулам 2.3 определим средние коэффициенты эластичности:

.

Таким образом, увеличение по отдельности переменных , на 1% приводит в среднем к росту результата на 1,18% и 0,34% соответственно.

Из этого также следует, что фактор оказывает большее влияние на , нежели фактор .

3. Вычислим предсказанные моделью значения по формуле

и тем самым заполним колонку расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки и их квадраты . В итоге в строке "Сумма" колонки таблицы определится остаточная сумма квадратов .

Находим стандартную ошибку уравнения регрессии по формуле 2.4:

.

По формуле 2.5 вычисляем стандартные ошибки параметров уравнения:

С использованием формулы 2.6 определяем статистики параметров:

.

Найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(…) табличное значение по уровню значимости и числу степеней свободы . Сравнение модулей расчетных значений с табличным указывает на статистическую значимость параметра . Параметры же и не является значимым.

Построим интервальную оценку только для коэффициента . Для этого определим предельную ошибку, которая в 95% случаев не будет превышена:

.

Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

.

Из него следует, что с надежностью 0,95 за счет увеличения мощности пласта на 1 м переменная будет увеличиваться по разным шахтам в пределах от 0,333 тонн до 1,375 т.

4. Вычислим парные коэффициенты корреляции по формулам 2.7:

; .

Определим множественный коэффициент корреляции по формуле 2.8:

.

Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной линейной зависимости результата от включенных в модель факторов.

Далее по формуле 2.9 находим множественный коэффициент детерминации:

.

Таким образом, на 81% включенные в модель факторы определяют воздействие на переменную , а на все остальные факторы, не включенные в модель, приходится 19%.

Скорректируем коэффициент детерминации по формуле 2.10:

.

Рассчитаем дисперсионное отношение Фишера по формуле 2.11:

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о статистической значимости построенной модели.

5. По формуле 2.12 находим частные критерии:

,

.

Табличное значение =5.59 определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то включение в модель фактора после оказалось статистически оправданным. Но так как , то включение фактора в модель после оказывается бесполезным: влияние на переменную не является устойчивым, систематическим ( в этом убедились ранее, признав статистически незначимым).

Отсюда вывод: модель должна содержать только фактор .

Задания для самостоятельной работы.

Задача 2. Изучается влияние стоимости основных x₁ и оборотных x₂ средств на величину валового дохода y торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице 2.2 (все величины измеряются в млн. руб.).

Табл. 2.2

Номер варианта	Переменные	Номер предприятия
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	x1	3,9	4,8	3,9	4,3	4,8	4,9	5,6	4,6	5,6	7	7,2	7,7
	x2	10	14	16	16	17	20	19	21	21	21	22	21
	y	7	8	7	7	7	8	9	8	9	11	11	11
2	x1	3,9	4,1	3,8	4,7	4,4	5,2	5,6	5,2	5,5	6,8	7,5	7,2
	x2	10	14	15	16	18	19	19	20	21	21	22	21
	y	8	7	7	8	7	7	9	9	8	11	11	11
3	x1	4	4,3	4	4,9	4,4	4,9	6,3	4,8	6,2	7,7	7,6	7,1
	x2	11	14	16	16	18	20	20	21	21	21	22	21
	y	7	7	7	7	7	8	8	8	9	11	11	11
4	x1	4,7	4,2	3,8	5	4,1	5,5	5,8	5	5,7	7,6	7,6	7,4
	x2	11	14	16	17	17	20	20	21	20	20	21	22
	y	8	7	7	8	8	8	8	8	9	11	10	10
5	x1	4,4	4,4	4,2	4,2	4,1	5,1	5,7	4,8	5,6	7,6	7,7	7
	x2	11	14	16	16	18	19	19	20	21	21	21	21
	y	7	7	8	8	8	8	9	9	8	10	10	11
6	x1	4,5	4,7	4,3	4,2	4,8	5,7	5,5	5,2	5,8	7,2	7,1	7,2
	x2	10	15	16	16	18	20	19	20	21	20	21	22
	y	8	8	8	8	8	8	8	8	8	10	11	10
7	x1	4,3	4,2	4,5	4,2	4	5,5	6,3	4,8	5,4	7,1	7,9	7
	x2	11	15	15	16	17	19	20	21	21	20	22	22
	y	7	7	7	8	8	8	8	8	9	11	10	11
8	x1	4,1	4	4,2	5	4,6	5,1	6,2	4,9	6,2	7	7,5	7,4
	x2	11	15	16	16	17	20	20	21	21	20	22	21
	y	7	7	7	7	7	7	8	9	8	10	10	11
9	x1	3,9	4,1	3,8	5	4,8	5,6	5,6	4,8	6	7,6	6,9	7,4
	x2	11	14	15	16	18	20	20	21	21	20	22	21
	y	7	7	8	7	8	7	9	9	8	10	10	11
10	x1	4,9	4,2	4,6	4,2	3,8	4,9	5,4	5,3	5,4	7,4	7,6	6,9
	x2	10	14	15	16	18	20	20	21	20	21	22	21
	y	7	7	8	7	8	8	8	8	8	10	10	11

Требуется:

1. Полагая, что между переменными y, x_1, x₂ существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии y по x₁ и x₂ ) и пояснить экономический смысл параметров регрессии.

2. Установить раздельное влияние на величину валового дохода двух факторов - основных и оборотных средств через стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности.

3. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95% доверительные интервалы.

4. Сравнить значения скорректированного и не скорректированного коэффициентов множественной детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии по критерию на уровне =0,05.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x₁ после x₂ , и фактора x₂ после x₁.