1.2. Нелинейная парная регрессия

Расчетные формулы

Нелинейная регрессия, линейная по параметрам.

1.2.1 Линеаризация модели выполняется путем введения новых переменных, относительно которых модель будет линейной. Например, если модель имеет вид:

,

то введение новой переменной позволяет получить линейную относительно этой переменной модель:

.

1.2.2 МНК - оценки коэффициентов модели:

, ,

, , , , .

В итоге получается нелинейная парная регрессия .

1.2.3 Выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение (СКО):

.

1.2.4 Остаточная сумма квадратов отклонений:

.

1.2.4 Индекс корреляции:

.

1.2.5 Индекс детерминации:

.

1.2.6 Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

1.2.7 Средний коэффициент эластичности:

.

1.2.8 критерий Фишера:

,

где число параметров модели.

Нелинейная регрессия, нелинейная по параметрам.

1.2.9 Для линеаризации модели её предварительно логарифмируют и вводят в рассмотрение новые переменные, относительно которых модель будет уже линейной. Рассмотрим, например, степенную модель

.

После логарифмирования она примет вид:

.

Введя новые переменные:

,

получаем линейную модель:

.

1.2.10 МНК - оценки коэффициентов этой модели:

, ,

, , , , .

1.2.11 Оценка коэффициента :

.

В результате получается степенная регрессия .

1.2.12 Факторная сумма квадратов:

1.2.12 Индекс корреляции:

.

1.2.13 Индекс детерминации:

.

Средняя относительная ошибка аппроксимации, средний коэффициент эластичности и критерий Фишера вычисляются по формулам 1.2.6, 1.2.7, и 1.2.8 соответственно.

Решение типовой задачи.

Для данных, представленных в таблице 1.1 требуется:

1. Построить гиперболическую регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, вычислить индекс корреляции и детерминации, а также статистическую значимость уравнения регрессии на уровне .

2. Построить степенную регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, оценить её точность по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и значимость (на уровне ).

3. Сравнить модели парной регрессии (включая линейную) по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и выбрать наилучшую.

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Оценим гиперболическую модель . Она линейна по параметрам .

Введем новую переменную . Линеаризованная модель примет вид: .

Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п
1
20
Сумма
Среднее

Введем исходные данные , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.2.2:

, .

В итоге получена гиперболическая модель: .

Вычислим предсказанные моделью значения з/п по формуле

и тем самым заполним колонку расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки и их квадраты . В итоге в строке "Сумма" колонки таблицы определится остаточная сумма квадратов .

Построим график функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмм и убедимся, что МНК дал хорошие результаты аппроксимации.

Найдем значения выборочной дисперсии и СКО для по формулам 1.2.3:

, .

Найдем индекс корреляции по формуле 1.2.4:

.

Индекс корреляции близок к единице и это указывает на тесную гиперболическую связь между изучаемыми признаками.

Рассчитаем индекс детерминации по формуле 1.2.5:

.

Значение индекса детерминации близко к единице и по нему следует, что з/п по этой модели на 78% обусловлена таким фактором, как возраст рабочего.

Проверим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив по формуле 1.2.6. Для этого в первой строке колонки набираем с использованием функции ABS(…) формулу: =ABS()*100. После протяжки по всему столбцу вычисляем среднее значение данного столбца:

=.

По видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,7%, что говорит о хорошем качестве модели по этому критерию.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.2.7:

Найдем производную

.

Отсюда

.

Он показывает, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,74%.

Рассчитаем критерий Фишера по формуле 1.2.8 (в нашем случае ):

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о хорошей аппроксимации статистических данных построенной моделью.

2. Построим степенную модель . Эта модель является нелинейной по параметру .

Выполним преобразования по формулам 1.2.9. Линеаризованная модель примет вид: . Здесь , .

Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п											(
1
2
20
Сумма
Среднее

Введем исходные данные , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.2.10:

, .

Найдем оценку коэффициента с использованием функции EXP(…):

.

В результате построена степенная модель .

Вычислим на основе модели значения з/п по формуле:

с использованием встроенной функции СТЕПЕНЬ(;). В итоге будет заполнена колонка таблицы.

Далее вычисляются остатки , их квадраты , разности , а также их квадраты . В итоге в строке "Сумма" колонки таблицы определится факторная сумма квадратов .

Построим график функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмм и убедимся, что кривая неплохо представляет искомую зависимость.

Найдем индекс корреляции по формуле 1.2.12 (значение определено ранее):

.

Близость индекса корреляции к единице указывает на тесную степенную связь между изучаемыми признаками.

Рассчитаем индекс детерминации по формуле 1.2.13:

.

Из значения индекса детерминации следует, что з/п по этой модели на 84% обусловлена возрастом рабочего.

Оценим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив по формуле 2.6:

=.

По видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,9%, что говорит о неплохом качестве модели по этому критерию.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.2.7:

Найдем производную:

.

Отсюда

.

Из этого следует, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,86%.

Рассчитаем критерий Фишера по формуле 1.2.8:

.

Табличное значение = уже ранее определено. Так как выполняется неравенство , то можно сделать вывод о надежности и статистической значимости степенной модели.

3. Для сравнения двух нелинейных моделей составим итоговую таблицу со значениями средней относительной ошибки аппроксимации и индекса детерминации:

Модель
Гиперболическая	8,73	0,778
Степенная	9,90	0,844
Линейная	10,16	0,72

Из таблицы видно, что по средней ошибке аппроксимации лучшей является гиперболическая модель, а по индексу детерминации – степенная. Но по этим показателям они обе лучше линейной модели. Для практического использования можно рекомендовать степенную модель.

Задания для самостоятельной работы.

Задача 1. В таблице 1.2 приводятся данные по различным регионам России о среднедушевом прожиточном минимуме в день одного трудоспособного x (руб) и среднедневной заработной плате y (руб).

Табл. 1.2

Номер варианта	Параметры	Номер региона
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	x	81	85	89	76	92	104	72	88	76	84
	y	135	149	137	152	164	198	143	155	161	167
2	x	92	87	83	95	77	99	80	93	79	92
	y	128	131	147	164	173	207	155	164	148	192
3	x	77	83	89	81	97	113	82	93	79	94
	y	133	150	145	161	178	189	167	174	122	154
4	x	89	76	91	79	99	86	112	107	87	96
	y	132	127	131	120	154	143	153	149	125	146
5	x	95	98	78	87	91	101	79	88	69	107
	y	144	156	132	145	158	172	126	139	115	159
6	x	77	89	84	69	93	87	76	90	104	111
	y	161	149	159	122	137	143	135	190	202	221
7	x	85	89	90	109	112	96	92	78	94	108
	y	133	143	147	198	210	207	189	178	188	214
8	x	85	87	93	97	104	87	91	113	106	86
	y	157	169	198	225	214	203	198	246	217	159
9	x	79	86	80	95	98	106	117	108	92	87
	y	176	179	176	181	215	232	241	208	205	180
10	x	113	89	95	93	102	123	154	137	98	96
	y	224	199	257	248	232	256	302	264	213	245

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи y и x .

2. Построить уравнение линейной парной регрессии; определить для него коэффициент детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации.

3. На поле корреляции построить график полученной кривой.

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результирующим признаком.

5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и модели в целом, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.

6. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющего 107% от среднего уровня, и оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

7. Построить гиперболическую регрессионную модель зависимости среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума, вычислить индекс корреляции и детерминации, а также статистическую значимость уравнения регрессии по критерию на уровне .

8. Построить степенную регрессионную модель, оценить её точность по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и установить значимость уравнения регрессии по критерию (на уровне ).

9. На поле корреляции построить графики полученных нелинейных кривых.

10. Сравнить модели парной регрессии (включая линейную) по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и выбрать наилучшую.