Производная параметрически заданной функции.
Примеры параметрических функций:
1)
2)
3
)
– дифференцируемы.
Пример:
Гиперболические функции.
(гипер. синус)
(гипер. косинус)
(гипер. тангенс)
(гипер.
котангенс)
arsh (ареа синус)
arсh (ареа косинус)
arth (ареа тангенс)
arcth (ареа котангенс)
Схематичные графики гиперболических функций:
Производные высших порядков.
Механический смысл второй производной – это ускорение.
Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.
Дифференциал.
– гладкая,
непрерывная и дифференцируемая.
Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.
если
Свойства дифференциала:
1)
2)
3)
4)
Доказательство
для
:
Остальные доказываются аналогично.
Инвариантность формы дифференцирования.
Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Рояля, теорема о корнях производных.
Доказательство:
Пусть
гладкая
на
,
.
Тогда
:
Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.
при
при
Теорема Каши о среднем.
Доказательство:
Пусть
- гладкие на
.
на
Тогда
:
, где
.
F
– гладкая
на отрезке
.
По теореме Роле
:
.
по условию, а
так как иначе по теореме Рояля
,
что противоречит условию.
Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях.
Доказательство:
Пусть
гладкая
на
,
Тогда
:
.
Пусть
:
Г
еометрический
смысл:
Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.
Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя).
Пусть и гладкие в окрестности и
Тогда
Правило Лопиталя: Придел отношения функций равен приделу отношения их производных.
Доказательство:
Применим теорему
для
и
,
,
где
точка в окрестности
.
где
.
Примеры:
1)
2)
3)
Формула Тейлора.
Пусть
определена
и непрерывна и имеет все производные
до n-ого
порядка включительно, в некоторой точке
.
-
остаточный член в форме Тейлора.
-
полином Тейлора для
.
1)
2)
3)
,
где
k=0,1,2,…n.
Запись остаточного члена.
– остаточный член
в форме Логранжа.
– остаточный член
в форме Каши.
– остаточный член
в форме Пиано.
Ряд Тейлора.
Формула Маклорена.
Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен 0.
2)
3)
4)
5)
Треугольник Паскаля.
Исследование функции.
План общего исследования функции.
-
Область определения, четность, периодичность.
-
С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.
-
С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.
-
С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
-
График функции.