- •1. Комплексные числа (кч)
- •Комплексная плоскость.
- •Введение в математический анализ.
- •Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
- •Кванторы
- •Функции делятся на 2 класса
- •Элементарные неэлементарные
- •П римеры:
- •Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:
- •Тогда .
- •Пусть функция определенна в окрестности точки .
- •Производная параметрически заданной функции.
- •Теорема Рояля, теорема о корнях производных.
- •Пусть и гладкие в окрестности и
- •Треугольник Паскаля.
- •Монотонность.
- •Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
- •Асимптоты
1. Комплексные числа (кч)
Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i 2 = –1.
a – действительная часть КЧ или a = Re z.
b – мнимая часть КЧ или b = Im z.
0+bi = bi - чисто мнимое число
a + 0i = a - действительное число
0 + 1i = i |
1 + 0i = 1 |
0 + 0i = 0 |
мнимая единица |
обычная единица |
обычный нуль |
Z1 = a1 + b1i
Z2 = a2 + b2i
Действия над КЧ.
Z1 Z2 = (a1 a2) + (b1 b2)i – сложение/вычитание КЧ.
Возведение в степень мнимой единицы:
i1 = i i2 = – 1 i3 = i i4 = 1
Z1 Z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i2 =
= (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i – произведение КЧ.
Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.
Пример:
– деление КЧ.
Пример:
Комплексная плоскость.
Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.
Модуль КЧ.
Аргумент КЧ.
Аргумент КЧ – .
Полярная систем а координат
Д екартова система. Полярная система.
– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.
Пример:
– тригонометрическая форма записи КЧ.
Примеры:
Формула Эйлера.
– Формула Эйлера |
|
– взаимосвязь между e, i и |
– показательная форма КЧ.
КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.
Возведение в степень КЧ.
При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула Муавра.
Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:
Используя равенство КЧ, получим:
Извлечение корня из КЧ.
k = 0, 1…,n – 1. |
Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.
Примеры:
Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.
Введение в математический анализ.
N – натуральные числа, Q – рациональные(дробные), Z – целые числа
R – все действительные
M(N) = A0, где M – множество, A0 – алеф нуль.
Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
– счетные и имеют одинаковую мощность
R – несчетное
М ножество действительных чисел всюду плотны на всей числовой оси.
[a, b] – замкнутый
(a, b) – открытый
Окр [x0] – окрестность точки x0 , любой открытый промежуток, содержащий x0.
Окр [x0] = (a, b), где (a, b) содержит x0 – это окрестность.
ax0 = x0b, – окрестность x0
Кванторы
1) – кванты всеобщности;
2) – кванты существования.
|x – x0| – расстояние от точки x до точки x0
Рисунок.
Числовой функцией (f) называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставимо) некоторое значение y.
y = f (x)
образ x прообраз y
У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.
Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.
Способы задания функций:
а) аналитический;
б) графический;
в) табличный;
г) алгоритмический.