
- •1. Комплексные числа (кч)
- •Комплексная плоскость.
- •Введение в математический анализ.
- •Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
- •Кванторы
- •Функции делятся на 2 класса
- •Элементарные неэлементарные
- •П римеры:
- •Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:
- •Тогда .
- •Пусть функция определенна в окрестности точки .
- •Производная параметрически заданной функции.
- •Теорема Рояля, теорема о корнях производных.
- •Пусть и гладкие в окрестности и
- •Треугольник Паскаля.
- •Монотонность.
- •Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
- •Асимптоты
1. Комплексные числа (кч)
Комплексным числом
z
называется
выражение z
=
a+bi,
где
,
i
– мнимая
единица.
i
2
= –1.
a – действительная часть КЧ или a = Re z.
b – мнимая часть КЧ или b = Im z.
0+bi = bi - чисто мнимое число
a + 0i = a - действительное число
0 + 1i = i |
1 + 0i = 1 |
0 + 0i = 0 |
мнимая единица |
обычная единица |
обычный нуль |
Z1 = a1 + b1i
Z2
= a2
+ b2i
Действия над КЧ.
Z1
Z2
= (a1
a2)
+ (b1
b2)
i
– сложение/вычитание
КЧ.
Возведение в степень мнимой единицы:
i1 = i i2 = – 1 i3 = i i4 = 1
Z1
Z2
= (a1
+ b1
i)
(a2
+ b2
i)
= a1
a2
+ a1
b2
i
+ a2
b1
i
+ b1
b2
i2
=
= (a1a2
– b1
b2)
+ (a1
b2
+ a2
b1)
i
– произведение
КЧ.
Сопряженным числом
()
для данного комплексного числа называется
число, которое отличается только знаком
мнимой части от данного числа.
Пример:
– деление КЧ.
Пример:
Комплексная плоскость.
Z = a + bi
– алгебраическая
форма записи КЧ.
Модуль КЧ.
Аргумент КЧ.
Аргумент КЧ –
.
Полярная систем
а
координат
Д
екартова
система. Полярная система.
– полярный радиус,
– полярный угол,
– полярные координаты.
Пример:
– тригонометрическая
форма записи КЧ.
Примеры:
Формула Эйлера.
|
– Формула Эйлера |
|
|
– взаимосвязь
между e,
i и
|
– показательная
форма КЧ.
КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.
Возведение в степень КЧ.
При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула Муавра.
Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:
Используя
равенство КЧ, получим:
Извлечение корня из КЧ.
|
k = 0, 1…,n – 1. |
Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.
Примеры:
Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.
Введение в математический анализ.
N – натуральные числа, Q – рациональные(дробные), Z – целые числа
R – все действительные
M(N) = A0, где M – множество, A0 – алеф нуль.
Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
– счетные и имеют
одинаковую мощность
R – несчетное
М
ножество
действительных чисел всюду плотны на
всей числовой оси.
[a,
b] – замкнутый
(a, b) – открытый
Окр [x0] – окрестность точки x0 , любой открытый промежуток, содержащий x0.
Окр [x0] = (a, b), где (a, b) содержит x0 – это окрестность.
ax0
= x0b,
– окрестность
x0
Кванторы
1)
– кванты всеобщности;
2)
– кванты существования.
|x – x0| – расстояние от точки x до точки x0
Рисунок.
Числовой функцией
(f)
называется
соответствие между числовыми множествами
XY,
при котором каждому значению x
соответствует (сопоставимо) некоторое
значение
y.
y = f (x)
образ x прообраз y
У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.
Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.
Способы задания функций:
а) аналитический;
б) графический;
в) табличный;
г) алгоритмический.