6. Применение интерполяции

Интерполяция полезна для создания изолиний, описывающих поверхности. Она может также использоваться для отображения поверхности средствами блок-диаграмм или карт с отмывкой рельефа. Но для чего еще может использоваться интерполяция? Допустим, что вы планируете жилую застройку и не хотите попасть в зону наводнений, но у вас нет карты, показывающей границы этой зоны. При этом вы знаете, что максимальный уровень наводнений за сто лет составил 60 метров над уровнем моря. У вас также имеются заметки о нескольких прежних участках строительства, и они включают данные высот для каждого построенного дома. Изобразив данные на карте местности, можно использовать интерполяцию для оценки высоты расположения вашего участка. По этим данным можно начертить изолинию, показывающую зону наводнений за 100 лет, и, просто сравнив вашего участка с ней, можно узнать, нужно ли поменять место.

Предположим, что необходимо построить шоссе на территории, которая отсутствует на карте. Невозможно начать строительство, не зная среднего градиента уклона. Вы можете создать карту поверхности тренда, чтобы показать общий характер уклона. Или, предположим, вы являетесь горным инженером, пытающимся определить общий тренд для рудного месторождения на основе информации из множества кернов, показывающих вершину и дно залежей руды. Метод интерполяции поверхности тренда даст информацию о толщине рудного слоя и его уклона под землей. Кроме того, метод кригинга окажется полезным в оценке качества рудного слоя, так как рудные пласты хорошо описываются регионализованными переменными.

На самом деле, существует множество применений интерполяции в различных областях. Если вы хотите предсказать изменения состава почвы вдоль наклонной поверхности, если исследуете тенденции в растительном покрытии на удалении от источника воды, или если вы интересуетесь тенденциями изменения численности населения на большой территории, исходя из выборочных данных за прошедшие десятилетия, то все эти виды анализа требуют какого-либо вида интерполяции. О чем вам следует помнить, так это о том, что интерполяция является, по сути, предсказательной моделью.

7. Проблемы интерполяции

Мы рассмотрели несколько методов интерполяции, при выполнении которых должны учитываться следующие четыре фактора:

1. Число исходных точек

2. Положения исходных точек

3. Проблема седловых точек

4. Область, содержащая точки данных

Число исходных точек. В общем случае можно сказать, что чем больше исходных точек мы имеем, тем более точной будет интерполяция и тем с большей вероятностью интерполированная поверхность будет хорошей моделью. Однако существует предельное количество точек, которые могут быть созданы для любой поверхности. Постепенно достигается момент снижения отдачи, т.е. большее количество точек не приводит к существенному повышению качество результата, а лишь увеличивает время вычислений и объем данных. В некоторых случаях избыточные данные могут приводить к необычным результатам, поскольку группы точек в областях, где данные могут быть легко собраны, могут создать неравномерное представление поверхности, и, следовательно, неодинаковую точность. Другими словами, большее число точек не всегда улучшает точность.

Конечно, количество исходных точек часто является функцией формы поверхности. Чем сложнее поверхность, тем больше точек данных требуется. А для важных объектов, таких как впадины и долины рек, требуются дополнительные точки данных, чтобы гарантировать представление необходимой подробности. Вдобавок, хотя положение точек измерения друг относительно друга имеет влияние на точность интерполяции, сама зависимость не является линейной.

Проблема размещения исходных точек (отсчетов) усугубляется, когда мы рассматриваем интерполяцию по данным, собираемым по областям, для создания карты изоплет. Мы знаем, что ГИС имеют возможность определения центроида каждого полигона или центра распределения каждого полигона. Когда точки данных распределены относительно равномерно, легче всего использовать метод центроида ячейки. А метод центра тяжести наиболее полезен, когда точки выборки сгруппированы или неравномерно распределены. Однако при обоих методах существует вероятность, что центр окажется вне полигона выборки, особенно если полигоны имеют необычную форму. Когда такое случается, наиболее легким решением обычно является "подтягивание" центроида или центра тяжести к наиболее близкой к нему точке полигона (что, вероятно, потребует вмешательства оператора).

Проблема седловой точки (saddle-point problem), называемая иногда проблемой альтернативного выбора, возникает тогда, когда две точки одной пары диагонально противоположных Z-значений, образующих прямоугольник, расположены ниже, а две точки другой диагональной пары находятся выше того значения, которое пытается найти алгоритм интерполяции. Это обычно случается только при линейной интерполяции, но когда это происходит, программа встает перед выбором одного из двух возможных решений вопроса: «где провести изолинию?» Простым способом решения этой проблемы является помещение среднего от двух, полученных по диагоналям, интерполированных значений в точке пересечения диагоналей.

Область, содержащая точки данных. Последняя проблема, которая должна учитываться при интерполяции, является общей для операций в ГИС, имеющих дело с областью, в пределах которой собираются точки данных. А именно, чтобы интерполяция работала должным образом, интерполируемые точки должны быть окружены точками с известными значениями со всех сторон. Но если мы, как часто бывает, выбираем для анализа всю область исследования и используем ту же область для выполнения интерполяции, то вскоре нам приходится интерполировать точки вблизи границы области. И с приближением к границе алгоритм интерполяции вынужден использовать исходные точки только с трех и даже двух сторон от интерполируемой. Как мы видели, наилучшие результаты интерполяции достигаются тогда, когда мы можем расширять окрестность по всем направлениям для выбора исходных точек и определения весов. В отсутствие этих окружающих точек алгоритм будет использовать то, что есть, допуская систематическую ошибку вдоль границы.

В качестве примера давайте попробуем выполнить интерполяцию вдоль левой границы карты. Условимся, что эта граница проходит по холму, который поднимается от центра карты к ее левой границе. Смежный лист карты показывает, что холм продолжает расти и за левой границей нашей области исследования. Но так как у нас нет данных с левой стороны границы, алгоритм будет искать соседние точки справа, сверху и снизу от интерполируемой точки на границе, и интерполируемая величина будет подвержена влиянию этих трех направлений. То есть, полученные значения могут оказаться ниже, чем те, которые находятся на смежном листе карты. Следовательно, при выполнении интерполяции появится тенденция недооценки пропущенных значений, что приведет к созданию карты поверхности, вдоль границ, которой вычисления уклона, азимута, видимости, маршрута наименьшей стоимости и другие будут ошибочными.

Несмотря на очевидные проблемы при выполнении вычислений поверхности в таких условиях, даже опытные пользователи ГИС попадаются в ловушку выбора точек в пределах только исходной области исследования. Иногда эта процедурная ошибка случается из-за того, что данные о поверхности не были частью первоначального замысла, иногда потому, что область исследования выбиралась на основе границ отдельной карты, а иногда из-за недостатка времени. Бывают и другие причины, но результат – тот же: сомнительная база данных (или даже база сомнительных данных) и некорректные результаты анализа.

Решение проблемы так же очевидно, как и она сама. Просто расширьте границы покрытия высот за пределы исходной области исследования. Нет необходимости расширять саму область исследования, чтобы удовлетворить потребность в большем количестве исходных точек. Достаточно создать покрытие, внешние границы которого шире исходной области исследования, затем провести интерполяцию, после чего опять вернуться к исходным границам, "отрезав" края (модели высот, модели уклона, области видимости и т.д.). Определение размера дополнительной площади покрытия, необходимой для получения приемлемых результатов интерполяции, – дело трудное. Теоретически, было бы полезно выполнить какого-нибудь рода анализ окрестности, возможно подобный анализу в кригинге, для выяснения, насколько далеко должны располагаться точки данных, чтобы гарантировать, что они не оказывают влияния на соседние с ними значения высот, но это требует времени. Наилучший совет – перестраховаться, расширяя область настолько, чтобы гарантировать правильность вычислений. Чаще всего достаточно расширения на 10% в каждую сторону для обеспечения хороших результатов, но при этом следует учитывать и сложность поверхности.

Чем более быстро изменяется высота вблизи границ, тем больше они должны быть расширены, – чтобы уравновесить влияние соседних исходных точек, воздействующих на интерполируемые значения. Здесь нет стандартных инструкций, вам понадобится собственный опыт и знание ваших данных. Любое расширение границ улучшит качество анализа и всегда лучше, чем полное отсутствие расширения.