5. Интерполяция

Поскольку для непрерывных поверхностей, – топографических, экономических, демографических или климатических мы используем выборку, – нам нужна возможность изображать с приемлемой точностью наблюдаемые объекты. В традиционной картографии, например, точечные значения выборки высот или значений для других статистических поверхностей преобразуются в визуальную форму, использующую изолинии. Однако, часто требуются и другие формы визуального представления, таких как блок-диаграммы и карты отмывки рельефа. А также, необходима возможность определения уклонов, экспозиций склонов, поперечных сечений и предсказания неизвестных значений высот для объектов, на которые у нас нет соответствующих данных. Интерполяция обеспечивает многое из того, что нужно для выполнения этих операций.

Процесс интерполяции теоретически может быть очень прост, но он требует одно априорное утверждение. Рассмотрим математическую основу интерполяции на примере математических прогрессий. Прогрессии – это числа, которые расположены в определенном порядке. Последовательность

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

является линейной или арифметической прогрессией, так как каждая пара соседних чисел имеет постоянную разность (в данном случае 1). Другие примеры арифметических прогрессий:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (разность = 10)

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 (разность = -100)

Существует также разновидность прогрессий, где вместо сложения используется умножение, такая прогрессия называется геометрической.

1. Линейная интерполяция

Внутри этих простых последовательностей мы можем легко идентифицировать упомянутое выше априорное утверждение, а именно то, что каждое последующее число определяется простым математическим действием. Если мы можем распознать это действие, то сможем восстанавливать пропущенные значения. Так, например, если нам известно, что в последовательности {30, 40, 60, 70, 80, 100} пропущены два числа, то мы можем предположить, что эта последовательность является арифметической прогрессией и что между парами чисел {40, 60} и {80 100} пропущены числа 50 (= 40 + 10) и 90 (= 80 + 10). Это, по сути, и есть линейная интерполяция, используемая для определения неизвестных значений высот между точками с известными значениями высоты.

Выше был рассмотрен пример линейной интерполяции, предполагая, что поверхность изменяется линейным образом. Однако последовательность отсчетов высоты не всегда следует линейному закону. В некоторых случаях она скорее логарифмическая, в других может предсказываться только для небольших участков поверхности. В таких случаях линейная интерполяция не даст адекватных результатов. Кроме того, существуют и другие подходы к поверхностной информации, которые могут потребовать определения общего закона изменения поверхности, а не детального ее описания. Некоторые из этих методов могут быть весьма сложными математически, так что мы ограничимся концептуальным уровнем рассмотрения некоторых методов нелинейной интерполяции, чтобы понять, как их можно использовать в ГИС наилучшим образом.