Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

1. Определение и свойства модуля действительного числа

Модулем действительного числа а называется число , равное самому числу а, если оно неотрицательное и противоположному для а числу, если оно отрицательно.

Таким образом, по определению имеем:

Свойства модуля действительного числа:

1. ; 5) , ;

2. ; 6)

3. ; 7) ;

4. ; 8) .

Геометрический смысл модуля действительного числа:

Известно, что любое действительное число а можно интерпретировать, как точку на числовой оси. В связи с этим геометрически - это расстояние от начала координат до точки а. При этом величина задает расстояние между точками а и b на числовой оси.

2. Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, могут быть использованы следующие методы:

1. раскрытие модуля по определению;

2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3. разбиение области решения уравнения на промежутки знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля.

Каждый из этих методов рассмотрим на конкретном примере и сделаем необходимые обобщения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. 1-й способ. Воспользовавшись определением модуля получим совокупность двух систем: 1) или 2) . Решим каждую из этих систем: 1) ; 2) х = 0.

Ответ: х₁ = 0; .

2-й способ. Так как обе части уравнения неотрицательны, то возведя их в квадрат, получим уравнение равносильное данному: , учитывая свойство 3, будем иметь: х₁ = 0; .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Уединим выражение, содержащее знак абсолютной величины . Воспользовавшись определением модуля получим совокупность двух систем: 1) ; 2) . Решив полученные системы найдем корни первоначального уравнения: ; .

2-й способ. Возведем обе части уравнения в квадрат, потребовав при этом, чтобы . Получим систему: . Решая полученную систему, получим те же корни.

Ответ: ; .

Решение уравнений вида

Уравнение вида может быть решено двумя методами:

1. по определению модуля оно равносильно совокупности двух уравнений:

2. возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая свойство 3, получится уравнение , равносильное данному.

Решение уравнений вида

Уравнение вида может быть решено двумя методами:

1. по определению модуля оно равносильно совокупности двух систем:

1) ; 2)

2. возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, получится система:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат и учитывая свойство модуля 3, получим уравнение равносильное данному:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение: , решив которое найдем корни первоначального уравнения: ; .

Ответ: ; .

Решение уравнений вида

Уравнения вида удобно решать методом возведения обеих частей в квадрат, если f(x) и g(x) - многочлены первой степени.

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

1. Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; ; .

2. Нанесем полученные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:

х : – – – +

х + 1: – – + +

х + 2: – + + +

3. Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей:

при имеем: ;

при имеем: ;

при имеем: ;

при имеем: .

4. Решим каждое из полученных уравнений: при : х = –2 это значение в интервал не входит; при : х = –2 полученное значение входит в обозначенный интервал; при : ни при каких значениях х уравнение решений не имеет; при : х = –2 в данный интервал это значение не входит.

5. Таким образом, уравнение имеет единственный корень х = –2, так как это значение входит в один из интервалов.

Ответ: х = –2.

Алгоритм, с помощью которого было решено уравнение, можно обобщить для решения любого уравнения, содержащего несколько модулей:

1. Найти значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль;

2. Все найденные значения нанести на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определить знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины;

3. Учитывая получившиеся знаки, воспользоваться определением модуля и раскрыть на каждом из интервалов все знаки модулей;

4. Решить каждое из полученных уравнений и из их решений выбрать те, которые принадлежат соответствующему интервалу, они и будут являться решениями первоначального уравнения.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Заметим, что слагаемые в знаменателе неотрицательны, следовательно сумма равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Ни при каких значениях переменной этого произойти не может, т.е. знаменатель дроби при любом значении х отличен от нуля.

Для решения воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1. ; .

2. + – + +

– – – +

3. При имеем: ;

При имеем ; ;

При имеем: ;

При имеем: .

4. Выбирая из полученных решений те, которые принадлежат соответствующим промежуткам, получим: ; ; .

Ответ: ; ; .