1.3 Свойства отношений

Очевидно, что произвольные бинарные отношения изучать в общем плане не особенно интересно, о них можно сказать очень мало. Однако, если отношения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, относительно них можно делать более содержательные утверждения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из основных свойств бинарных отношений.

Определение 3.1.Бинарное отношение α на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента aX выполняется условие aαa:

.

Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля.

Для отношения, заданного с помощью булевой матрицы его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы (идущей из ее левого верхнего угла в правый нижний) стоят только символы 1.

Определение 3.2.Бинарное отношение α на X называется антирефлексивным, если ни для одного aX не выполняется условие aαa:

.

Обозначим через I_x отношение на множестве X, состоящее из пар вида (a, a), где a X:

I_x = {(a, a)| a X}.

Отношение I_x обычно называют диагональю множества X или отношением тождества на X.

Очевидно, что отношение α на множестве X рефлексивно, если диагональ I_x является подмножеством множества α:

Отношение антирефлексивно, если диагональ I_x и отношение α не имеют ни одного общего элемента: .

Определение 3.3.Бинарное отношение α на множестве X называется  симметричным, если из aαb следует bαa:

Примерами симметричных отношений являются:

• отношение перпендикулярности на множестве прямых;

• отношение касания на множестве окружностей;

• отношение "быть похожим" на множестве людей;

• отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.

Отношение "x брат y" на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение "x брат y" на множестве мужчин симметричным является.

В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x. Поэтому симметричные отношения можно представлять графами с неориентированными ребрами. При этом каждая пара ориентированных ребер xy и yx заменяется одним неориентированным ребром.

На рисунке 8 представлено отношение

α = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c)}

с помощью ориентированного и неориентированного графов.

Рис.8. Представление симметричного отношения с помощью  ориентированного (a) и неориентированного (b) графов

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Теорема 3.1. Объединение и пересечение любого семейства симметричных отношений снова являются симметричными отношениями.

Определение 3.4. Бинарное отношение α на множестве X называется  антисимметричным, если для любых различных элементов  a и b условия aαb и bαa не выполняются одновременно:

Например, отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из  и  следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делиться" антисимметричным не является, так как  и , но .

Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.

В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.

Определение 3.5. Бинарное отношение α на множестве X называется  транзитивным, если для любых трех элементов  a, b, c  X из  aαb  и bαc следует aαc:

Примерами транзитивных отношений служат:

• отношение "делиться" на множестве действительных чисел;

• отношение "больше" на множестве действительных чисел;

• отношение "старше" на множестве людей игрушек;

• отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;

• отношение "быть потомком" на множестве людей.

Феодальное отношение "быть вассалом" не является транзитивным. Это в частности подчеркивается в некоторых учебниках истории: "вассал моего вассала не мой вассал".

Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.

Для произвольного отношения α можно найти минимальное транзитивное отношение β такое, что . Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения γ из αγ следует βγ. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения α.

Пример 3.1. Транзитивным замыканием бинарного отношения на множестве людей "быть ребенком" является отношение "быть потомком".

Справедлива теорема:

Теорема 3.2. Для любого отношения транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, включающих в качестве подмножества.

Определение 3.6. Бинарное отношение α на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место aαb, либо bαa:

Примером связного отношения является отношение "больше" на множестве действительных чисел. Отношение "делиться" на множестве целых чисел связным не является.