3.6. Прямая, обратная и дополнительная форма представления двоичных чисел в эвм

В ЭВМ с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Например, упрощается определение знака результата операции, вычитание есть сложение кодов, облегчено определение переполнения разрядной сетки. Положительные числа представляются в прямом коде. Прямой код G_пр двоичной дроби с (n-1)–разрядной мантиссой G=0,к_1,к_{2 ….} к _n-1 определяется как G_пр = Gкогда G0 и 1+G, когда G  0 Прямой код целого n – разрядного двоичного числа G = к_n-2,k_n-3, …k₁,k₀ имеет вид G_пр=Gпри G0 и 2^n-1+G при G0. Прямой код числа со знаком можно рассматривать как двоичное число без знака , которое определяется этими соотношениями. Операция вычитания (алгебраического сложения) сводится к операции простого арифметического сложения при помощи обратного и дополнительного кодов, используемых для представления отрицательных чисел в машине. Что бы представить двоичное отрицательное число в обратном коде нужно в знаковый разряд поставить 1, а во всех других разрядах заменить 1 нулями, а 0 – единицами. При этом отрицательная двоичная дробь G^-= -0,k₁,k₂, …, k_n-1в обратном коде примет вид

G-_обр= 1,r_1,r₂, …,r_{n-1 ,}

а отрицательное двоичное число G= - k_n-2,k_n-3, …,k₁,k₀ соответственно

G-_обр= 1,r_n-2,r_n-3, …,r₁,r₀ где r_{i=0 ,} если k_i=1 и наоборот.

При представлении отрицательного двоичного числа в дополнительном коде ставят 1 в разряд знака, а цифровую часть числа заменяют дополнением модуля числа до 2 или соответственно 2ⁿ, для дробей и целых чисел. Дополнительный код отрицательного числа G- определяется выражением G-_доп=2- G-, если G- - двоичная дробь, и G-_доп = 2ⁿ - G- если G- - целое двоичное число. Таким образом, дополнительный код числа может быть получен из обратного путем прибавления 1 к младшему разряду обратного кода.

4. Логические основы эвм

4.1. Алгебра логики

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1. Переменные будем обозначать латинскими буквами x,y,z…, а также x₀,x₁,…x_n, y₀,y₁,…y_n и т.д.

Отношение эквивалентности (равенства «=»), удовлетворяет следующим свойствам:

рефлексивность: x=x;

симметричность: если x=y то y=x;

транзитивность: x=y и y=z то x=z, отсюда следует принцип, если x=y, то в любой формуле, содержащей x, в место x можно подставить y, и в результате будет получена эквивалентная формула.

4.2 Логические операции

Это три операции:

дизъюнкция, операция ИЛИ, логическое сложение. Обозначают знаком V или +;

конъюнкция, опе6рация И, логическое умножение, обозначается знаком ^, или &, или *, или опускается;

отрицание, инверсия, операция НЕ, обозначается чертой над переменной, или над элементами 0 и 1, или над операциями с охватом всех переменных входящих в операцию ();

4.3. Аксиомы алгебры логики

Формула (1) утверждает, что в алгебре логики рассматриваются только двоичные переменные.

Формулы (2)-(4) определяют операции дизъюнкции и конъюнкции.

Формула (5) определяет операцию отрицания.

4.4. Законы (теоремы и тождества) алгебры логики

На основании аксиом алгебры логики можно вывести ряд теорем и законов.

Идемпотентные законы (6)

Коммутативные законы (7)

Ассоциативные законы (8)

Дистрибутивные законы (9)

Законы отрицания (10)

(11)

(12)

Законы двойственности (теоремы де Моргана)

(13)

Закон двойного отрицания (14)

Законы поглощения (15)

Операции склеивания (16)

(17)

Большинство теорем, а также аксиом записаны парами. При внимательном изучении пар можно вывести принцип двойственности – если в тождестве произвести взаимные замены операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементы 0 и 1, если они имеются, то получим тоже тождество. Такое свойство называется принципом двойственности.

f(v,0,l/+,&)=g(v,0,/+,&) где v=(x_n-1,...,x₀) то справедливо также тождество: f(v,l,0/&,+)=g(v,l,0/&,+)

Все теоремы могут быть доказаны аналитически или методом перебора.

Метод перебора – тождество (13)

XY
0 0
0 1
1 0
1 1

Аналитический метод – тождество (17)

Порядок выполнения операций:

отрицание слагаемой или сомножителя;

конъюнкция сомножителей;

дизъюнкция слагаемых;

общее отрицание дизъюнкции или конъюнкции.