1.Теория.

Любой ускоренно движущийся заряд или изменяющийся ток порождает распространяющееся от него во все стороны электромагнитное поле излучения.

Огромное значение и многочисленные практические применения этого излучения (радиоволны, свет, рентгеновы лучи и т.д.) требуют создания таких излучающих систем, в которых поддерживалось бы длительное переменное движение зарядов и токов, а значит, длительное излучение электромагнитных волн. Простейшей такой системой является электрический колебательный контур.

Физическую систему, выведенную из состояния равновесия и предоставленную самой себе, в которой изменение одного из параметров x описывается дифференциальным уравнением

Рис.1

; (1)

где _0- круговая частота,

t - время,

 - начальная фаза колебаний;

m - индуктивность катушки;

k - обратная емкость конденсатора называют классическим гармоническим осциллятором.

Примером гармонического осциллятора служит параллельный LC - контур, содержащий катушку индуктивности L и конденсатор C (рис.1). В такой цепи можно возбудить электрические колебания, сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q₀ либо возбудив в катушке индуктивности ток путем изменения внешнего магнитного поля, пронизывающего витки катушки.

Пусть вначале цепь разомкнута, а на обкладках конденсатора находятся заряды +- q₀. При этом контур будет обладать энергией W, равной энергии заряженного конденсатора W_эл:

, (2)

которая локализована в электрическом поле конденсатора. Положим для простоты, что сопротивление контура пренебрежимо мало, так что можно считать R0.

Замкнем контур ключом K. Конденсатор начнет разряжаться, но ток в контуре будет нарастать лишь постепенно вследствие ‘электрической инертности’ катушки. По мере уменьшения заряда на обкладках конденсатора его энергия будет убывать. Так как R=0 и других возможностей потери энергии здесь нет, энергия контура меняться не должна. Убыль энергии электрического поля конденсатора в точности возмещается увеличением энергии возникающего и растущего магнитного поля катушки. В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится, ток в контуре будет максимальным. Вслед за этим конденсатор начнет перезаряжаться, и ток начнет убывать, но постепенно, в силу той же инертности катушки.

Максимальный ток I_макс легко вычислить, исходя из закона сохранения энергии. В тот момент, когда q=0, W_эл=0 и вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Следовательно, согласно

(3)

откуда

(4)

Когда ток прекратится, Wмагн обратится в нуль и Wэл примет прежнее значение - заряды на обкладках конденсатора достигнут прежней величины и лишь поменяются знаками. Затем возникнет ток обратного направления, конденсатор снова перезарядится, и весь процесс будет повторяться. Таким образом, в контуре возникнут электрические колебания заряда - тока. Поэтому цепь называют колебательным контуром.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с колебаниями материальной точки под действием квазиупругой силы. В этом случае происходит непрерывный переход потенциальной энергии материальной точки, , в кинетическую, , и обратно. Сопоставление с и с , наталкивает на предположение, что и электрические колебания в контуре должны происходить по гармоническому закону.

При наличии в цепи колебательного контура внешних ЭДС в контуре возникают вынужденные колебания, имеющие частоту внешнего источника. Чтобы вызвать вынужденные колебания, к контуру необходимо приложить внешнее периодически изменяющееся напряжение или пропустить через него периодически изменяющийся ток. При приближении частоты внешнего электрического воздействия к некоторому значению, характерному для данного контура, амплитуда тока резко возрастает. Частоту, при которой осциллирующая величина достигнет максимального значения, называют резонансной. При 0 резонансная кривая для Uc подходит к ординате UC_m=U_m, определяющей напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m.

Осциллирующими величинами в колебательном контуре являются не только ток I или напряжение U_c, но и заряд на конденсаторе Q. Решением уравнения в этом случае является функция:

, (5)

где - собственная частота контура;

 - начальная фаза колебаний.

Амплитуда колебаний заряда Q_m и начальная фаза  зависит от начальных условий, т.е. от заряда конденсатора и силы тока в контуре сразу после отключения внешнего напряжения. Напряжение на конденсаторе отличается от заряда только множителем 1/C, поэтому

(6).

Таким образом, в идеальном контуре заряд конденсатора, напряжение на его обкладках, а также ток, протекающий через катушку индуктивности, и напряжение на ней изменяются со временем по гармоническому закону с постоянной амплитудой. Такие колебания называют незатухающими.

В реальном контуре запасенная энергия постоянно расходуется как на нагревание окружающей среды, так и на излучение электромагнитных волн, что вызывает затухание свободных колебаний. При не очень высоких частотах мощность электромагнитного излучения оказывается незначительной и сопротивление R контура складывается в основном из сопротивления (активного) катушки индуктивности и проводов контура. На эквивалентной схеме контура это учитывается последовательным включением резистора с сопротивлением R.

Уравнение затухающих колебаний для LC- контура имеет вид

(7)

или , (8)

где - коэффициент затухания. В случае <₀, т.е. при не очень большом сопротивлении, когда , решение последнего уравнения имеет вид:

, (9)

где - частота затухающих колебаний. Таким образом, в реальном контуре могут быть возбуждены колебания с частотой, меньшей собственной (<₀), и с убывающей амплитудой (рис.1.а):

, (10)

причем, добротность контура

Рис.1.а

(11)

Добротность контура характеризует остроту резонансных кривых. Рассмотрим ширину кривой  (рис.4), взятую на высоте 0,7. Величину =₂-₁ называют полосой пропускания контура. Относительная ширина полосы пропускания контура оказывается обратной величиной его добротности:

(12).

2.Экспериментальная установка

Колебательный контур прибора состоит из катушки с индуктивностью L, конденсатора C - емкостью 0,1мкФ, последовательного сопротивления R = 20 Ом и кнопка K.

Описываемый прибор реализует схему, изображенную на рис.2. Для определения свойств контура к нему подключают осциллограф и частотомер H . Для исследования затухающих колебаний в качестве вынуждающего источника напряжения используют генератор импульсов G, вынужденных колебаний - генератор гармонических колебаний.

Tок I, подводимый к контуру, определяется последовательным сопротивлением R₀ =10КОм и практически не зависит от эквивалентного сопротивления контура (R₀ на приборе не видно). Если кнопка K нажата, то LCR- контур превращается в LC- контур (т.е. исключается сопротивление R).

Рис.2

3.Ход работы.

Для работы необходимо произвести подключение данной установки (рис. 3) к генератору электрических колебаний (клеммы 1) и к осциллографу (клеммы 3). Кнопка (2) в обычном состоянии реализует LCR- контур, а в нажатом LC- контур.

Рис.2

С генератора гармонических колебаний на колебательный контур подать напряжение около 10В, изменяя частоту, следить за изменением амплитуды колебаний на контуре с помощью осциллографа.

Для исследования затухающих колебаний необходимо генератор гармонических колебаний переключить в режим генератора импульсов. Воспользовавшись масштабной сеткой на экране осциллографа, определить период затухания колебаний. Перерисовать зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени на бумагу. Для этого неплохо было бы хорошо разбираться в настройке осциллографа. Для начала надо добиться четкого сигнала на экране, а потом удобно разместить пойманный сигнал на масштабной сетке осциллографа.

Аналогичные действия проделать с LC- контуром.

3.Экспериментальная часть.

Рассмотрим теперь затухающие колебания. Переключаем генератор в режим импульсов. Если прибор подключен к осциллографу, то получив изображение на экране осциллографа, надо удобно расположить его относительно масштабной сетки и по показаниям построить график функции U(t) (можно просто срисовать, учитывая развертку).

Рассчитаем коэффициент затухания

,

где  - постоянная времени затухания).

Тогда частота затухания колебаний равна:

(17).

После надо нажать кнопку (2) на корпусе прибора и произвести аналогичные действия для LC- контура.

4.Контрольные вопросы.

1. Почему свободные электромагнитные колебания в контуре затухающие?

2. Каково назначение катушки индуктивности и конденсатора в колебательном контуре?

3. Как влияет увеличение сопротивления катушки на электромагнитные колебания? Почему?

Лабораторная работа № 4

Определение неизвестной частоты сигнала с помощью фигур Лиссажу

Цель работы - изучить процесс возникновения фигур Лиссажу на экране осциллографа, определить неизвестную частоту сигнала.

Рис.1

Приборы и принадлежности: осциллограф электронный, генератор известной частоты, генератор неизвестных частот.