4
.pdfмбарн. Здесь не случайно приведены значения сечений захвата из разных справочных изданий, этим показан реальный разброс результатов расчёта доз от тепловых нейтронов, который возникнет только из-за разброса констант. В результате реакции рождается атом дейтерия и фотон с энергией 2,18 МэВ. Одновременно возни-
кает ядро отдачи с энергией |
: |
|
|
|
, |
(15.15) |
||||
|
|
|
|
, |
( |
|
||||
где |
|
энергия фотона, |
МэВ; |
энергия) |
ядра отдачи, кэВ; |
|
||||
− |
|
= |
|
− |
|
|
|
− |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
относительная атомная масса.
Для атома дейтерия энергия равна 1,26 кэВ. При измерении кермы тканеэквивалентной ионизационной камерой в свободном воздухе рождённые фотоны можно не учитывать. Иное дело доза в фантоме или теле человека. Фотоны распространяются по всему объёму, взаимодействуют с тканью, рождаются электроны (комптоновское рассеяние преобладает), которые и производят ионизацию среды. При облучении тела или фантома быстрыми нейтронами происходит термолизация вплоть до тепловых энергий. Из-за проникающего свойства фотонов доза от тепловых нейтронов оказывается распределённой по всему фантому.
Для регистрации тепловых нейтронов обычно используют детекторы, в которых реализуются ядерные реакции, сопровождающиеся образованием заряженных частиц достаточно высокой энер-
гии. |
К |
таким. |
реакциям относят |
B( ,α) Li; |
Li( ,α)T; |
He( |
, |
)T |
|
|
|
Сечение реакции на He максимально – 5400 барн, энергия продуктов реакции, 0,764 МэВ, удобна при использовании газовых детекторов (камеры, пропорциональные и коронные счётчики).
Сечение реакции на B равно 3813 барн, а для естественного бора – 755 барн. Энергия ̶частицы – 1,47 МэВ, ядра лития 0,88 МэВ. В 93 % случаях ядро лития находится в возбуждённом состоянии и испускает фотон с энергией 0,48 МэВ.
Сечение реакции на Li − 945 барн, а на естественном литии – 71 барн. При взаимодействии с тепловыми нейтронами происходит развал ядра на ядро гелия и трития. Их суммарная энергия – 4,78 МэВ.
531
Реже применяют делящиеся материалы |
|
и |
, хотя про- |
|
мышленность выпускает миниатюрные и |
большие многоэлектрод- |
|||
|
U |
|
Pu |
ные камеры; их электроды покрыты тонким слоем урана или плутония.
2.2.Нейтроны промежуточных энергий
Вмасштабе летаргии нейтроны промежуточных энергий занимают обширный диапазон. Бытовала гипотеза, что промежуточные нейтроны дают наибольший вклад в дозу. В реальных случаях, однако, это не так. Промежуточные нейтроны являются следствием замедления быстрых нейтронов в защитах, замедлителях и отражателях реакторов, в теле человека.
После нескольких соударений с ядрами лёгкой среды при оставшейся у нейтрона энергии будет происходить сферическисимметричное рассеяние в системе центра инерции, в лабораторной системе координат из-за передачи импульса ядру рассеяние не будет сферически-симметричным. Пороговое значение энергии нейтронов, выше которого рассеяние будет анизотропным, опреде-
ляется условием: орбитальный момент нейтрона R·v не меньше |
|
. |
|||||||||||||
Здесь |
– |
радиус ядра; |
|
|
|
скорость нейтрона; |
|
|
постоянная |
||||||
Планка ( |
|
6,625 |
|
Дж с). Величина равна |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|||||
см. |
|
= |
∙10 |
|
|
∙ |
|
|
|
1,2∙10Er : |
|
|
|||
|
Теперь получим граничное значение энергии нейтрона |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
г ≥ |
|
н |
|
|
= 10/ |
, МэВ. |
|
|
(15.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для углерода граничная энергия равна 2 МэВ, для кислорода – 1,57 МэВ, т. е. для элементов, составляющих мягкую ткань, лежит вне диапазона промежуточных нейтронов. В системе центра инерции рассеяние в воде, полиэтилене, ткани будет сферически-сим- метричным.
Из закона сохранения энергии и импульса при упругом рассеянии двух тел получаем связь энергии рассеянного под углом ψ в системе центра масс нейтрона ( ) и его начальной энергией:
= |
( |
) |
. |
(15.17) |
При изотропном рассеянии плотность вероятности рассеяния на угол ψравна
532
(ψ) ψ = |
|
: (ψ) = |
|
sinψ. |
|
|
Из предыдущего выражения найдём связь между дифференциалами энергии рассеянного нейтрона и угла рассеяния, и после подстановки в последнюю формулу получаем
( ) = |
( !) ₒ |
. |
(15.18) |
Таким образом, распределение рассеянных нейтронов по энергиям равновероятно. При ψ = 0 происходит рассеяние прямо вперёд и энергия нейтрона не изменяется. При рассеянии назад, ψ = π, получаем минимальную энергию энергию нейтрона:
( |
) |
= |
α |
. |
(15.19) |
( |
) |
|
|
|
При этом ядро получает максимальную энергию:
|
|
я |
|
|
|
. |
(15.20) |
|
|
|
|
( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для ядра водорода |
максимальная энергия ядра отдачи равна энер- |
||||||
|
= |
− α = |
|
|
, кислорода − |
||
гии падающего. |
нейтрона, |
для углерода – 0,284 |
|||||
0,221· |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим среднее значение потери энергии в акте рассеяния в шкале летаргии
ξ = ln |
|
|
= |
|
( )( ) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ) |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ln − |
|
=1 + |
|
|
|
ln α. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
ln ( |
|
|
|
). |
|
|
|
(15.21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
равно для |
ξ = 1+ |
|
|
замедления от энергии источника |
||||||||||||||||||
Среднееξ |
число соударений для |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||
до |
будет равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ln .
Рассмотрим непоглощающую среду, в которой распространяются нейтроны.
533
Введём понятие плотности замедления как концентрацию соударяющихся нейтронов в единицу времени, в какой-либо точке среды и изменяющих летаргию на величину
( , )= ξ∙Σ ( , ). |
(15.22) |
Тогда изменение плотности замедления будет происходить за счёт перемещения нейтронов в фазовое пространство с меньшей концентрацией. Так как среда для промежуточных нейтронов рассматривается непоглощающей, то можно предположить, что ( )=
= const, и тогда :
|
φ( ) = |
( ), |
|
φ( ) = |
|
( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
(15.23) |
Полученный спектр называется спектром Ферми. Если |
не изме- |
||||||||||
няется, |
то |
|
|
. При уменьшении |
Σ |
, что наблюдается в |
|||||
области |
|
φ( ) = const |
|
|
|
|
|
плотность |
|||
|
высоких энергий промежуточных нейтронов, |
потока на единицу летаргии увеличивается.
Спектр Ферми устанавливается не сразу, а при достижении ле-
таргии |
|
|
, отсчитываемый от летаргии первичного нейтрона. |
||||||
|
|
||||||||
Например, для графита |
|
|
для кислорода |
|
. |
||||
|
6 |
|
|
|
∆ = 1, |
∆ |
|||
Для водорода, у |
|
|
= 0,75 |
||||||
|
|
|
|
которого |
, можно считать, что спектр |
||||
Ферми устанавливается после |
первого соударения. |
||||||||
|
ξ = 1 |
|
|
При упругом рассеянии нейтронов промежуточных энергий ядрам отдачи передаётся часть энергии, только протон может получить полностью энергию нейтрона. Максимальная энергия ядра
отдачи равна: |
|
я = ( ) . |
(15.24) |
При изотропном рассеянии в системе центра масс средняя энергия нейтронов в два раза меньше. Рассмотрим пробеги и удельные потери энергии. Данные представлены в табл. 15.2.
Из таблицы видно, что при уменьшении энергии частиц значение удельных потерь и пробегов уменьшаются. В представленном диапазоне пробег протона в воде не превосходит 40 мкм, а иона углерода – 8 мкм. Поэтому можно считать, что протоны и ядра отдачи теряют свою энергию в месте образования.
534
Помимо потерь энергии на ионизацию ионы малых энергий тратят энергию на упругие соударения с атомами среды, вызывая каскады смещённых атомов. Последствия этого процесса для живых объектов недостаточно изучены.
|
Пробеги, R, мг⁄см , и тормозные |
|
|
|
|
|
Таблица 15.2 |
||||||
|
способности ядер отдачи, dE/dx, |
||||||||||||
|
|
/мг |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
МэВ ∙ см |
|
|
|
|
|
|
||
Энер- |
|
|
Вода |
|
|
|
|
|
Полиэтилен |
|
|||
|
Протоны |
|
Ионы |
|
|
|
Протоны |
Ионы |
|||||
гия, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МэВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,424 |
0,658 |
0,138 |
2,25 |
|
0,319 |
|
0,800 |
0,080 |
2,98 |
||
0,1 |
|
0,264 |
0,565 |
0,060 |
1,80 |
|
0,193 |
|
0,768 |
0,049 |
2,31 |
||
0,05 |
|
0,164 |
0,465 |
|
- |
− |
|
|
0,123 |
|
0,066 |
- |
- |
0,025 |
|
0,105 |
0,367 |
|
- |
|
|
0,081 |
|
0,050 |
- |
- |
|
0,012 |
|
0,067 |
0,275 |
|
- |
− |
|
|
0,052 |
|
0,036 |
- |
- |
5 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
В области промежуточных нейтронов могут происходить резонансное рассеяние и радиационные захваты атомами подавляющей группы изотопов со средним и высоким значением . Многие из резонансных ядерных реакций используются для спектрометрии нейтронных потоков. Классическими реакциями являются
Au( ,γ)− основной резонанс при энергии 4,9 эВ; In( ,γ)− с
резонансом 1,46 эВ; Na( , ) − с резонансом 2,85 кэВ. Последняя реакция была использована для дозиметрии нейтронов без дозиметров в аварийных ситуациях при возникновении самопроизвольной цепной реакции.
Сечение активации вблизи одиночного резонанса, когда можно пренебречь потенциальным рассеянием, может быть описано с помощью формулы Брейта–Вигнера:
|
|
|
|
σ ( |
) = |
р |
|
|
Г Г |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
(15.25) |
|||
|
|
|
|
|
|
р Г |
|
|||||
Здесь Г , Г |
Г нейтронная, радиационная и полная ширина ре- |
|||||||||||
зонанса в эВ |
Г− |
Г |
|
Г ; |
р |
|
|
длины волн нейтрона в точке |
||||
резонанса и в |
любой соседней точке по оси энергии; |
|
множи- |
|||||||||
= |
|
+ |
|
λ , λ − |
|
|
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
535 |
|
|
|
тель, учитывающий статистический вес спиновых состояний нейтрона ( ), ядра мишени , составного ядра ( ):
= ( ( )( ) ) .
При этом = + + ( − орбитальный момент относительного движения нейтрона и ядра). Медленные нейтроны взаимодействуют в состоянии с = 0, поэтому образование промежуточного ядра
для них возможно только при = ± .
Сечение σр( ) определяется плавно изменяющейся функцией
λ( ) и резко изменяющимся множителем |
|
|
|
в области |
||||
|
р |
Г |
||||||
р. |
|
|
|
|||||
В точке резонанса сечение равно: |
|
|
|
|||||
σ р = |
р |
|
Г Г |
. |
|
(15.26) |
||
|
Г |
|
Энергия резонанса, полная и парциальные ширины, являются параметрами резонанса, определяемыми экспериментально. Изолированные резонансы лёгких ядер находятся в интервале от 100 кэВ до 10 МэВ, средних – от 1 до 100 кэВ, тяжёлых – от 1 до 1000 эВ. В тяжёлых ядрах резонансы как бы уплотняются и могут находиться на расстоянии 1 ÷ 10 эВ. Радиационная ширина слабо зависит от энергии нейтронов и массы ядра. Для средних по массе ядер Г
примерно равна 0,2 эВ, для тяжёлых – 0,05 эВ. Величина Г существенно зависит от энергии нейтронов и от массового числа ядер, она пропорциональна произведению скорости нейтрона и среднего
расстояния между уровнями, Г |
|
|
|
Для лёгких ядер при энерги- |
||||||||||
~ √ |
|
|||||||||||||
ях в области электронвольт Г |
|
кэ. В, для средних |
|
эВ, для |
||||||||||
тяжёлых |
|
0,001 |
|
|
|
|
ширина почти для всех ядер и |
|||||||
|
|
|
эВ. Нейтронная≈ 1 |
|
|
|
~ 1 |
|
||||||
любых |
энергий существенно больше радиационной. |
|
|
|||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В области энергий нейтронов менее первого резонанса и при |
||||||||||||||
условии |
р − |
Г |
2 |
. |
|
р |
∙ |
∙ |
Г Г . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
||||
|
|
|
|
|
σ ( ) = |
|
|
|
|
|
|
Длины волн обратно пропорциональны √ и р. 536
Г ~ const, Г р ~ р и тогда σ ( ) ~ 1 ~ 1 .
|
значений, напри- |
В точке |
р сечения могут достигать огромных √ |
мер для Cd − 60000 барн, для индия − 26000 барн. В результате резонансного захвата образуются радиоактивные ядра. В активации будут принимать участие нейтроны с энергиями вдали от резонанса и нейтроны в узком интервале энергий самого резонанса. Принято рассматривать ситуацию, когда спектр под резонансом
строго подчиняется распределению 1 |
|
. При интегрировании по- |
||||
лучим резонансный интеграл I |
= |
|
|
р |
Гр |
, обычно имеет размер- |
|
|
|||||
ность – барн. |
|
|
σ |
|
|
Обратим внимание на расширенный состав ткани мышц человека, рекомендованный Национальным бюро стандартов США (дан-
ные приведены в числе атомов на грамм в степени |
): |
водород |
||||||||||
|
6,15; углерод |
; |
азот |
|
0,15; |
кислород |
|
2,75; |
натрий |
|
||
− |
|
− 0,617 |
|
– |
|
|
|
|
– |
|
|
– |
0,002; магний |
0,0005; фосфор |
– |
0,004; сера |
− |
0,0094; калий |
− |
||||||
0,0146; кальций– |
0,0001. |
|
|
|
|
|
|
|
−
Резонансный захват должен учитываться только для натрия. Как упоминалось, основной резонанс натрия находится при 2,85 кэВ,
статистический фактор = 3 8 , Г ·= 400 эВ, Г ·= 0,61 эВ, резо-
нансный интеграл – 0,117 барн, сечение в резонансе – 344 барн, сечение активации на тепловых нейтронах – 0,536 барн.
Таким образом, даже активация натрия из-за малого количества атомов и невысокого резонансного интеграла не может внести существенный вклад в дозу. Ионизация, производимая ядрами отда-
чи, включая протоны, связана с убывающей по мере умень-
шения энергии. Поэтому и поток промежуточных нейтронов, и дозу, созданную ими, трудно определять. За исключением некоторых экспериментальных установок промежуточные нейтроны вносят относительно малый вклад в дозу.
2.3. Быстрые нейтроны
Быстрые нейтроны рождаются большинством источников, исключение составляют некоторые фотоядерные реакции с берилли-
537
ем или дейтерием и ядерные реакции при бомбардировке мишеней ускоренными ионами. В зависимости от энергии быстрые нейтроны, попадая в тело, претерпевают серию упругих рассеяний или вступают в ядерные реакции с элементами ткани. Сечение упругого рассеяния на водороде с ростом энергии плавно уменьшается. Было предложено несколько аппроксимационных формул, вот две из них:
σ = 4,83 , − |
0,58; |
− [МэВ], σ− [барн]; 0,03 < <+20; |
σ = 3π[1,206 |
+ (0,0001306 +0,09415 − 1,86) ] |
+ π[1,206 + (0,4223+0,13 ) ] .
Рассеяние на атомах водорода изотропно в системе центра масс и пропорционально косинусу угла рассеяния в лабораторной системе координат.
При взаимодействии с более тяжёлыми ядрами ткани с ростом энергии нейтрона рассеяние перестаёт быть изотропным в системе центра масс. Кинематические соотношения между энергией начального нейтрона , рассеянного нейтрона и ядра отдачи остаются справедливыми (см. формулу 15.17)
При упругом рассеянии = − и = ( ) (1 −
−cosψ).
При изотропном рассеянии средняя энергия ядра отдачи равна
= |
( ) |
, при 1 = . |
(15.27) |
Максимальная энергия ядра отдачи вдвое больше.
Рассеяние на ядрах, тяжелее водорода, может происходить по двум каналам: рассеяние в поле ядра (потенциальное рассеяние) и рассеяние через образование составного ядра. Рассеяние через составное ядро носит резонансный характер:
σ = |
р |
Гп( р) |
. |
(15.28) |
|
Г |
|
В области энергий ниже первого резонанса и, считая резонанс узким, из общей формулы сечения рассеяния получим
538
σ = ∙ |
р |
∙ |
Гн р Гп( |
) |
≈ |
р |
{Гп ( |
р)Г ( )}/ |
р |
. |
|
р |
Г |
|
|
Сечение резонансного сечения, так же как и потенциального сечения, вдали от резонанса не будет зависеть от энергии нейтронов. Из справочной литературы находим, что первый резонанс рассеяния на углероде находится при 2,076 МэВ, на азоте и кислороде
–при 0,43 МэВ.
Вобласти, близкой к резонансу, энергетическая зависимость сечения становится очень сложной. Это обусловлено интерференцией волн при потенциальном и резонансном рассеянии. Сечение упругого рассеяния можно представить суммой потенциального, резонансного и интерференционного сечений:
σ = σ |
п |
+σ |
р |
+σ |
и. |
|
|
|
|
|
||
Вблизи резонанса при |
|
|
|
интерференционное слагаемое |
||||||||
отрицательное и сечение |
рассеяния может стать меньше потенци- |
|||||||||||
< |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ального рассеяния. После достижения максимума при E |
|
Ep |
се- |
|||||||||
чение уменьшается до сечения потенциального |
рассеяния. |
Яркий |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
пример интерференционного минимума |
|
сечение рассеяния на |
||||||||||
железе около резонанса при 29 кэВ. |
|
Глубокий минимум в сечении |
||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
приводит к “прострелу” защиты такими нейтронами. При высоких энергиях нейтронов угловое распределение вытянуто вдоль вектора падающего потока. Для таких нейтронов была предложена модель ядра как поглощающего чёрного тела. Тогда возникает аналогия со
светом, |
испытывающим дифракцию на круглом экране радиуса . |
||||||||||||
Для этой модели |
σ |
= π( +λ) |
и сечение неупругих процессов |
||||||||||
равно |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||
зависитσ |
. При |
λ |
значения |
σ |
иσн.у. |
|
|
, а при |
λ σ |
не |
|||
|
|
||||||||||||
от |
|
и равно |
( |
|
|
радиус |
|
||||||
|
|
энергии |
|
2π |
|
− |
ядра, а |
λ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− длина волнынейтрона).
Оказалось, что эта модель передаёт основные черты поведения сечения, но не описывает широкие минимумы и максимумы в ходе сечений.
Постепенно родилась оптическая модель, в которой ядро пред-
ставляет собой сплошную среду с оптическими константами – показателем преломления и поглощения. В оптической модели атомное ядро рассматривают как серый полупрозрачный шар. Нейтрон-
539
ная волна, проходящая через ядро, испытывает все взаимодействия, характерные для распространения света в полупрозрачной среде: преломление, поглощение, отражение. Волна, прошедшая через ядро, приобретает некоторый сдвиг фазы, определяемый показателем преломления ядерной материи и расстоянием, проходимым волной в ядре. За ядром падающая и прошедшая волны интерферируют, в зависимости от сдвига фаз результирующая волна то усиливается, то ослабляется и соответственно сечения то увеличиваются. то уменьшаются. При энергиях, для которых λ> ( порядка 10 МэВ), вопрос о рассеянии нейтронов сводится к решению задачи о дифракции нейтронной волны на потенциале, подбираемом из анализа и обобщение экспериментальных данных. Затем ищется решение уравнение Шредингера для волновой функции нейтрона с комплексным потенциалом взаимодействия. Действи-
тельная часть потенциала описывает рассеяние, а мнимая – их поглощение.
Для легких ядер из-за значительного расстояния между резонансными уровнями (~0,5 МэВ) оптическая модель применима при энергиях (5÷10) МэВ и выше. Со стороны очень высоких энергий оптическая модель применима только до значений λ, больших расстояний между нуклонами в ядре. Граничная энергия − около 100 МэВ.
Угловое распределение рассеянных нейтронов получают экспериментально для различных энергий и, привлекая теоретическое обобщение, описывают угловую зависимость рассеяния в виде разложения сечения по полиномам Лежандра:
σ |
= |
+ cosψ+ |
|
|
(3cos ψ− 1)+ |
|
|
(5cos |
, |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ψ− 3cosψ) |
||||||||||
где |
− |
коэффициенты при членах разложения. Определим сред- |
||||||||||||
нюю |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
энергию ядра отдачи |
|
|
) ( |
|
|
) ( ) |
|
||||||
|
|
|
(( )) |
|
|
|
= |
( |
( ) |
. |
||||
Так как |
полиномы Лежандра являются ортонормированными, то |
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
средняя энергия будет равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
( |
!) |
540 |
1 − |
|
. |
|
(15.29) |
||
|
|
|
|
|
|