Задачі та вправи

І. Довести тотожності теореми 1.

ІІ. Довести тотожності теореми 2, виходячи з визначення рівності множин. Спробуйте одержати ті ж самі результати інакше, користуючись тільки теоремою 1. Принаймні для одного такого доведення випишіть співвідношення, двоїсті до кожного його кроку з метою одержати доведення двоїстого твердження.

ІІІ. Довести, що для будь-яких множин А,В,С

1) AB  ACBC, 2) AB  (A\C)(B\C),

3) AB  (C\B)(C\A), 4) AB  (B\A)A=B,

5) AB=AB  A=B, 6) ABC  A\BC,

7) АВ=А= та В=, 8) AB=  ABAB,

9) CB  B\AC\A, 10) ABC  ABC,

11) ABC й ACB  AC=, 12) AB=  A=B,

13) A\B=  A\B=A, 14) ABC  ABC,

15) (A\B)B=A  AB, 16) AB=C  BC=A,

17) (AB)(CD)  (AC)(BD), 18) AB  AB=B,

19) AB=  AB=AB, 20) BA  (A\B)B=A,

21) (AB)C=A(BC)  CA, 22) AB=A  AB=U,

23) A=B  AB= й AB=U, 24) A\B=  AB=U,

25) ACB  ACB, 26) AB  (A\C)(B\C),

27) A=B A\B=, 28) A=B  AB=U,

29) AB=B  AB=U, 30) AB=A  A\B=.

ІV. Нехай АВС=U, А,В,С попарно не перетинаються. Довести, що А=ВС, В=АС, С=АВ.

V. Довести тотожності:

1) (AB)=(AB)(AB)(AB), 2) AB=A\(A\B),

3) (AB)\C=(A\C)(B\C), 4) AB=BA,

5) (AB)\C=(AB)\(AC), 6) (AB)(AB)=A,

7) (AB)(AB)=(AB)(AB), 8) (AB)A=A,

9) A\(B\C)=(A\B)(A\C), 10) (AB)(AB)=U,

11) A\(BC) = (A\B)(A\C), 12) AU=A,

13) A(B\C)=(AB)\(A\C), 14) A(B\C)=(AB)\C,

15) A\(BC)=(A\C)\(B\C), 16) A(B\A)= ,

17) (AB)A=AB, 18) (AB)(AB)=A,

19) (AB)(AB)=, 20) A\B=(AB)B,

21) A\(BC)=(A\B)(A\C), 22) (AB)A=AB,

23) AB=(AB)(AB), 24) A(B\A)=AB,

25) AB=(AB)(AB), 26) A(B\C)=В(А\C),

27) A\B=(AB)(AB), 28) (AB)A=A,

29) A(BC)=(AB)(AC), 30) A\B=A(AB),

31) AB=A(B(AB)), 32) AB=A(B\A),

33) AB=(AB)(A\(A\B)), 34) (ВА)В=А,

35) AA=U, 36) AA=,

37) (AB)A=(AB)A, 38) A(AB)=B,

39) AB=(AB)(A\B), 40) AB=A(A\B),

41) AB=(AB)(AB), 42) A(BC)=(AB)C,

43) (AB)\(AB)=A((AB)(AB)), 44) А=А,

45) (AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD).

Булеан множини

Кожна непорожня множина Х має принаймні дві різні підмножи-ни:  та Х. Крім того, кожен елемент множини Х визначає деяку під-множину множини Х: якщо аХ, то {а}X. Множина усіх підмножин множини Х називається булеаном, або множиною-степенем множини Х й позначається P(Х) (або В(Х)), тобто P(Х)={Y| YX}. Якщо, наприклад, А={а,b,с}, то P(А)={А,{а,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},}.

Теорема 4. Нехай множина Х складається з n елементів. Тоді P(Х) містить 2ⁿ елементів.

Доведення. Нехай Х={х₁,…,х_n}. Розглянемо такий спосіб подання підмножини Y множини Х. Нехай l_Y=l₁…l_n – послідовність n нулів та одиниць така, що l_i=1, якщо х_iY, й l_i=0, якщо x_iY, i{1,…,n}. Наприклад, якщо n=5, то підмножина Y={x₂,x₄,x₅} множини {х₁,х₂,х₃,х₄,х₅} подається у вигляді послідовності l_Y=01011. З іншого боку, кожна послідовність l₁…l_n з n нулів та одиниць визначає деяку підмножину Y n-елементної множини Х таким чином: якщо l_i=1, то х_iY, а якщо l_i=0, то x_iY. Наприклад, якщо l_Y=00110, то Y={x₃,x₄}. Отже, n-елементна множина Х має стільки ж підмножин, скільки існує послідовностей з n нулів та одиниць. Оскільки таких послідовностей 2ⁿ, то й кількість елементів множини P(Х) теж 2ⁿ.