VIII. Неустановившееся движение газа в пористой среде

1. Вывод дифференциального уравнения движения газа

Теория движения газа в пористой среде была разработана Л.С. Лейбензоном. Он получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа. Б.Б.Лапук в работах, посвященных основам разработки месторождений природных газов, показал в частности, что неустановившуюся фильтрацию газа можно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа подставим в уравнение неразрывности (2.2)

выражения (2.1) для компонент скорости фильтрации

и уравнения состояния (плотности) идеального газа (2.14)

.

Считая коэффициенты пористости m₀, проницаемости  и вязкости  газа постоянными, из уравнения (2.2) на основании (2.1) и (2.14) получим

. (8.1)

Выражения в скобках в левой части уравнения (8.1) можно представить следующим образом:

,

тогда уравнение (8.1) примет вид

. (8.2)

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно Р², поэтому уравнение (8.2) можно кратко записать в виде

. (8.3)

Полученное дифференциальное уравнение (8.3) неустановившейся фильтрации газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Заметим, что оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси. Изменением пористости пренебрегают, потому что оно входит в уравнение неразрывности (2.2) в виде произведения (m), в котором плотность газа изменяется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (8.3) можно записать иначе, умножив правую и левую части на давление Р и заменив ;

получаем . (8.4)

Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (8.3) или в форме (8.4) должно быть проинтегрировано по всей газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Но поскольку уравнение (8.3) или (8.4) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, то оно не имеет точных аналитических решений даже в самых простых одномерных случаях. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны (например, метод ПССС).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния

и с учетом зависимости  =  (Р) в недеформируемой пористой среде (m₀ = const; k = const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

.

(8.5)

Это уравнение можно проинтегрировать численным методом на ЭВМ или решить приближенно при помощи электрических моделей.