3. Точное решение задачи притока упругой жидкости к прямолинейной галерее

За прямолинейную галерею можно принять любую прямолинейную изобару. Пусть в начальный момент t=0 первоначальное пластовое давление всюду было одинаковым и равно Р_К. На галерее (х=0) мгновенно упало до величины Р_Г и в дальнейшем поддерживается постоянным. При этом в пласте сразу же происходит перераспределение давления. В удаленных точках (х) давление в любой момент времени остается постоянным и равным Р_К.

Найдем функцию распределения давления Р=Р(х,t). Для этого надо решить уравнение (7.10), которое для рассматриваемого прямолинейно-параллельного потока имеет вид

, (7.11)

Начальные и граничные условия при этом будут следующими:

при t = 0 P(x,0)=P_K;

при х = 0 Р(0,t) = P_Г = const; (7.12)

при х =  Р(,t) = P_K = const.

Используя анализ размерностей, можно показать, что поставленная задача автомодельна, т.е. из аргументов, от которых зависит давление, можно составить один (безразмерный) комплекс. Обозначим через безразмерное давление.

, которое, как это видно из (7.11) и (7.12), зависит от времени t, координаты х и коэффициента пьезопроводности , т.е.

Р=f (x,t, ).

Размерности этих аргументов таковы:

; ; .

Из этих параметров (х,t, ) можно составить один безразмерный комплекс /.

Принимая за новую переменную величину , задача сводится к нахождению безразмерного . При этом условия (7.12) переходят к виду:

при U=0

при U=

(7.13)

В силу линейности дифференциального уравнения (7.11) для функции имеем такое же уравнение

. (7.14)

По правилу дифференцирования сложных функций находим

;

;

.

Подставляя найденные значения производных в уравнение (7.14), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

, (7.15)

которое должно быть проинтегрировано по условиям (7.13)

Для решения (7.15) обозначим , тогда урвнение (7.15) принимает вид

. (7.20)

Разделяя переменные в (7.20) и интегрируя, получаем

, (7.21)

где С₁ – постоянная интегрирования.

Интегрируя (7.21), будем иметь

- по первому условию из (7.13).

Второе условие из (7.13) дает

.

Из интегрального исчисления известно, что

- интеграл Пуассона;

поэтому , а . (7.22)

Интеграл в (7.22) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1:

- интеграл вероятности или функция

Крампа (график функции представлен на рис.42)

Рис. 42

Таким образом

.

Тогда закон распределения давления в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жидкости имеет вид

. (7.23)

Зная х и t, определяем значение , а затем из таблиц или из графика находим и находим по формуле (7.23) значение давления Р.

Р аспределение давления Р(х,t) показано на рис.43.

Рис. 43

Найдем дебит Q галереи.

Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х=0), когда поток движется против оси х.

Согласно закону Дарси, имеем

,

где В, h – соответственно ширина и толщина пласта.

Дифференцируя выражение (7.23), получаем

.