2. Операции над множествами
Далее предполагаем, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества V.
Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (рис. 2) (результатом операции является заштрихованная область). Обозначают А В (или А + В). Можно записать
А В = х: х А или х В.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В (рис. 3). Обозначают: А В (или А В). А В = = х: х А и х В.
Рис. 2. А В Рис. 3. А В
Разностью множеств А и В называется множество всех тех элементов множества А, которые не содержатся во множестве В (рис. 4). Обозначают: А \ В = х: х А и х В.
Дополнением
множества А
называется множество всех элементов,
не принадлежащих А
(рис. 5). Обозначают:
.
Рис. 4. А \ В Рис. 5. V \ А
Пример.
Пусть V
– множество
всех сотрудников некоторой юридической
фирмы; А
– множество всех сотрудников данной
фирмы старше
40 лет; В
– множество сотрудников, имеющих стаж
работы более 15 лет. Какой смысл следующих
множеств: а)
;
б)
В?
Решение.
а)
– множество сотрудников, стаж работы
которых не превышает 15 лет;
б)
В –
множество сотрудников фирмы не старше
40 лет, имеющих стаж работы более 15 лет.
Пример.
Пусть V
= 1,
2, 3, 4, 5, 6,
А
=1,
3, 4, 5,
В
= 2,
3,
С
= 1,
5, 6.
Найти: а)
;
б)
;
в) А
;
г) В
\ А.
Решение.
а)
= V
\ А
= 1,
2, 3, 4, 5, 6
\ 1,
3, 4, 5
= 2,
6;
= V
\ В
= 1,
2, 3, 4, 5, 6
\ 2,
3
= 1,
4, 5, 6.
Тогда
= 2,
6
1,
4, 5, 6
= 1,
2, 4, 5, 6.
б) А В = 1, 3, 4, 5 2, 3 = 3.
Следовательно,
= V
\ (А
В)
= 1,
2, 3, 4, 5, 6
\ 3
= 1,
2, 4, 5, 6.
в)
= V
\ В
= 1,
2, 3, 4, 5, 6
\ 2,
3
= 1,
4, 5, 6.
А
= 1,
3, 4, 5
1,
4, 5, 6
= 1,
4, 5.
г) В \ А = 2, 3 \ 1, 3, 4, 5 = 2.
3. Алгебраические свойства операций над множествами
Введенные выше операции над множествами обладают рядом свойств. Приведем основные из них:
1
–
коммутативность;
А В = В А
2
–
ассоциативность;
А (В С) = (А В) С
3
–
дистрибутивность;
А (В С) = (А В) (А С)
4) А = А;
5) А V = V;
6) А = ;
7) А V = А;
8) А
= V;
9) А
= ;
1
0)
= V;
11)
.
Доказательство этих свойств (формул) состоит в том, что берут произвольный элемент множества левой части и доказывают, что он принадлежит и множеству правой части, и наоборот.
Операции над множествами обладают принципом двойственности, т.е. если справедливо некоторое соотношение между множествами, то справедливо и «двойственное» соотношение, полученное из данного путем взаимной замены всюду знаков и , V и , и .
Примерами двойственных соотношений являются соотношения в группах 1), 2), 3), соотношения 4) и 7), 5) и 6), 8) и 9), 10) и 11).
Лекция 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
План:
1. Высказывания. Логические операции над высказываниями.
2. Формулы логики высказываний.
3. Основные эквивалентные преобразования формул (законы логики высказываний).