Пример Высшая математика
.doc
Задание 8
Найти решение
данного дифференциального уравнения
в виде степенного ряда (четыре ненулевых
члена).
,
y(0) = 0
Решение
Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде ряда Маклорена:
.
Имеем:
;
,
;
,
;
,
.
Итак, четыре первых
разложения имеют вид:
Ответ:
Задание 9
Найти неопределенный
интеграл
Решение
Поскольку интегралы
от функций
и
не выражаются через элементарные
функции, будем искать выражение данного
интеграла через степенные ряды. Для
этого разложим sin(x) и cos(x) в ряд Маклорена.
Имеем:
,
.
=
=
Таким образом:
=
=
РАЗДЕЛ III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Задание 1
Найти и изобразить на рисунке область определения функции z = f(x,y).
Решение
Данная функция
определена, если
или
.
Таким образом, область определения
функции находится внутри параболы.
Задание 2
Найти точки разрыва
функции z = f(x,y).
Решение
Точки разрыва функции будут наблюдаться там, где sin(πx) = 0 и sin(πу) = 0. Решая эти два уравнения, находим: х = у = 1 , 2 , 3 , ... Т.е. х є Z и у є Z.
Ответ: х є Z; у є Z.
Задание 3
Для функции z = f(x,y) найти указанные частные производные
,
z''xx
- ?, z''xу
- ?
Решение
Имеем:
Задание 4
Вычислить значение производной сложной функции u = u(x,y), где x = x(t),
y = y(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
,
,
,
t0
= -1.
Решение
Если z = f(х;у) дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Имеем:
;
;
;
.
Таким образом
при t = -1
.
Ответ:
.
Задание 5
Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно, в данной точке М0 (x0;y0;z0) с точностью до двух знаков после запятой.
,
М0
(0;1;-1).
Решение
Обозначим
,
тогда
,
.
Находим:
,
,
.
Тогда
,
.
В точке М0
значения
производных:
,
Ответ:
,
.
Задание 6
Найти приближенное значение данного выражения с помощью дифференциала.
0,972,02.
Решение
Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 0,972,02 = (х + Δх)y+Δy, где х = 1; Δх = -0,03;
у = 2; Δу = 0,02. Воспользуемся формулой:
.
Находим
,
z'x(1;2)
= 2,
,
z'y(1;2)
= 0. Таким образом
.
Ответ: 0,94.
Задание 7
Найти grad(z) в точке
А и производную функции z = f(x,y) в точке
А по направлению вектора
.
;
A(1;-1);
Решение
Градиентом функции
z = f(x,y) называется вектор:
.
Находим:
;
.
В точке А(1;-1)
,
.
Таким образом:
.
Производная функции
z = f(x,y) по направлению вектора
имеет вид:
,
где cos(α) и cos(β) - направляющие косинусы
вектора
.
Имеем:
,
.
Таким образом, в точке A(1;-1)
.
Ответ:
;
.
Задание 8
Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к заданной поверхности S в точке М0 (x0;y0;z0).
S:
;
М0
(1;1;1).
Решение
Запишем данную
функцию в виде:
.
Уравнение касательной плоскости имеет
вид:
.
Находим:
f(x0;y0)
= f(1;1) = 1;
;
f'x(1;1)
= -1;
;
f'z(1;1)
= 2,5.
Таким образом
или
.
Уравнение нормали
имеет вид:
.
Подставляя найденные ранее значения для частных производных, получаем:
Задание 9
Исследовать на экстремум функцию z = f(x,y).
Решение
Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:
;
.
Решая систему:
находим точку
M(
;
).
Найдем производные второго порядка:
;
;
.
Составим определитель:
.
Поскольку Δ > 0 и
,
то в точке М функция z = f(x,y) принимает
минимальное значение. zmin
= z(
;
)
=
.
Ответ: zmin
= z(
;
)
=
.
Задание 10
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x,y) в замкнутой области D. Сделать рисунок области D.
D:
,
y = 0.
Решение
Изобразим область D.
Наибольшее или наименьшее значение функция z = f(x,y) может принять либо внутри области D, либо на ее границе. Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:
;
.
Решая систему:
находим точку O(0;0). Поскольку данная критическая точка принадлежит границе области, то наибольшее и наименьшее значение функции также ищем на границе области.
На отрезке АC y = 0 и z = x2 - 2. z' = 2x. Решая уравнение z' = 0, находим критическую точку: х = 0. О(0;0).
Вдоль параболы
АВС
,
а значит
или
,
.
Решая уравнение z' = 0, находим критические
точки:
,
.
М(
;-3),
N(
;
).
Таким образом,
наибольшее и наименьшее значение функции
ищем среди значений, которые принимает
данная функция z = f(x,y) в точках О(0;0),
А(-1;0), М(
;-3)
и N(
;
).
Находим: z(0;0) = -2; z(-1;0) = z(1;0) = -1;
z(1;0) = -1; z(
;-3)
=
;
z(
;
)
=
.
zmin
= z(
;-3)
=
;
zmax
= z(
;
)
=
.
Ответ: zmin
= z(
;-3)
=
;
zmax
= z(
;
)
=
.