
- •10. Алгебра логики
- •10.1.Булева алгебра
- •10.2. Двойственность формул булевой алгебры
- •10.3. Нормальные формы
- •10.4. Совершенные нормальные формы
- •10.5. Проблема разрешимости
- •10.6. Конституенты и представление функций
- •10.7. Алгебра Жегалкина
- •10.8. Канонические многочлены
- •10.9. Типы булевых функций
- •10.10. Функциональная полнота
- •Свойства булевых функций
10. Алгебра логики
10.1.Булева алгебра
Множество всех булевых функций вместе с операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания образует булеву алгебру. На основе определения основных операций можно убедиться в справедливости следующих тождеств булевой алгебры:
- коммутативность |
|
|
- ассоциативность |
|
|
- дистрибутивность |
|
|
- свойства констант |
|
|
|
|
|
- свойства отрицания |
|
|
Приведенные свойства позволяют получить ряд других важных законов:
-закон двойного отрицания |
|
|
- законы де Моргана |
|
|
- законы идемпотентности |
|
|
- законы поглошения |
|
|
|
|
|
Использование этих тождеств существенно упрощает запись логических формул.
10.2. Двойственность формул булевой алгебры
Из свойств, приведенных в (10.1), видно,
что в булевой алгебре, как и в алгебре
множеств, имеет место, принцип
двойственности. Взаимно двойственными
операциями являются дизъюнкция и
конъюнкция. Заменяя в некоторой
формуле каждую операцию на двойственную
ей, получаем двойственную формулу.
Например, из формулы
имеем
.
На основе законов де Моргана выводится
следующее положение: если
и
- двойственные формулы, то
равносильна
.
Отсюда следует, что
=
т. е. двойственная
формула выражается как отрицание
формулы, полученной из исходной замещением
каждой переменной ее отрицанием.
Таблица соответствия двойственной
функции получается заменой аргументов
и значений в исходной функции на
противоположные, т. е. 0 заменяется
на 1, а 1 - на 0. Если формулы
и
равносильны, то и двойственные им формулы
и
также равносильны.
Формула или функция, равносильная своей двойственной, называется самодвойственной. Самодвойственная функция на инверсных наборах принимает инверсные значения.
10.3. Нормальные формы
Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма - это дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа различных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию (дизъюнкцию) отдельных переменных или их отрицаний, входящих в данный член не более одного раза.
Функция приводится к нормальной форме
следующим путем: 1) с помощью законов де
Моргана формула преобразуется к такому
виду, чтобы знаки отрицания относились
только к отдельным переменным; 2) на
основе первого (второго) дистрибутивного
закона формула сводится к дизъюнкции
конъюнкций (конъюнкции дизъюнкций); 3)
полученное выражение упрощается и
соответствии с тождествами
и
(
и
).
Пример:
- дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).
- конъюнктивная нормальная форма (КНФ).
Члены дизъюнктивной (конъюнктивной)
нормальной формы, представляющие собой
элементарные
конъюнкции (дизъюнкции) k
букв, называют минитермами
(макстермами) k-го
ранга. Так, в приведенных выше формах
ху - минитерм второго ранга, хуг -
минитерм третьего ранга, а
- макстерм второго ранга.
Если исходная формула содержит другие операции, то они предварительно выражаются через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание, например:
Пример: