
- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
, (10.3)
в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение множителей, каждый из которых зависит только от x или только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Поделив
обе части уравнения (10.3) на
,
получим уравнение
,
в котором переменные разделены. Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
, (10.4)
где С – постоянная интегрирования. Выражение (10.4) является общим решением (общим интегралом, поскольку решение записано в неявном виде) уравнения (10.3). Выражая y из (10.4) (если это возможно), получаем общее решение дифференциального уравнения в явном виде y=φ(x, C).
Заметим,
что уравнению (10.3) могут удовлетворять
решения, потерянные при делении на
,
т.е. получаемые из уравнения
=0.
Если эти решения не входят в найденный
общий интеграл, то они являются особыми
решениями уравнения (10.3).
Частное
решение находим, используя начальные
условия
.
Кроме
того, для получения решения дифференциального
уравнения (10.3), удовлетворяющего
произвольному начальному условию
y(x0)=y0,
можно воспользоваться равенством
.
10.3. Однородные уравнения первого порядка
Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом λ имеет место тождество f(λx, λy) = λnf(x, y).
Например,
f(x,y)=
– однородные функции соответственно
первой, нулевой и четвертой степени.
Дифференциальное уравнение вида
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (10.5)
называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинаковой степени.
Уравнение (10.5) может быть приведено к виду
(10.6)
и
при помощи подстановки
т.е. y=ux,
где u
= u(x)
– новая неизвестная функция, преобразуется
в уравнение с разделяющимися переменными.
Можно также применять подстановку
,
т.е. x
= uy.
10.4. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка называется
линейным,
если оно содержит искомую функцию y
и ее
производнуюв
первой степени, т.е. имеет вид:
+
P(x)y
= Q(x) (10.7)
В частном случае P(x) и Q(x) могут быть постоянными числами.
Если
Q(x),
то уравнение (10.7) принимает вид
+P(x)y=0
и называется
линейным
однородным.
Оно является уравнением с разделяющимися
переменными. Если же Q(x)
,
то уравнение (10.7) называется линейным
неоднородным.
Методы решения:
1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ), сначала находим общее решение соответствующего линейное однородное дифференциального уравнения (ЛОДУ).
Запишем
ЛОДУ в виде
.
В
предположении y0
разделим переменные
.
Проинтегрировав и выполнив преобразования, получим
(10.8)
Это и есть общее решение ЛОДУ.
Решение ЛНДУ будем искать в том же виде, что и решение ЛОДУ, предполагая, что постоянная С является функцией переменного x.
(*)
Подставив выражение (*) в (10.7), мы найдем С(х):
,
т.е.
.
Подставим полученное С(х) в (*) и получим общее решение уравнения (10.7):
,С1
.