Індивідуальне завдання 2.1

Для поліномів та використовуючи схему Горнера знайти значення поліномів та їх похідних в точці , разкласти поліноми за степенями біному .

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. 

10. 

11. ;

12. 

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

3 Подільність поліномів. Нсд двох поліномів. Знаходження нсд за алгоритмом Евкліда. Подання нсд через лінійну комбінацію поліномів.

Означення.

Розглядаються два ненульові полінома та з дійсними коефіцієнтами степенів та відповідно, нехай .

Поліном ділиться без остачі на поліном тоді і тільки тоді, якщо існує єдиний поліном такий, що . В цьому випадку поліном називається дільником, - часткою від ділення полінома на поліном .

Якщо не ділить без остачі , то завжди знайдуться такі поліноми та такі, що подається єдиним образом у вигляді , . Таке подання називається діленням полінома з остачею. Поліном називається неповною часткою, поліном - остачею від ділення на .

Властивості подільності поліномів.

1. Якщо поліном ділиться на поліном , а поліном у свою чергу ділиться на поліном , то поліном також ділиться на поліном

.

2. Якщо поліноми і діляться на поліном , то сума та різниця цих поліномів теж ділиться на

.

3. Якщо поліном ділиться на поліном , то добуток на довільний поліном теж ділиться на

.

4. Якщо кожний з поліномів ділиться на поліном , то на ділиться лінійна комбінація цих поліномів

5. Поліном нульового степеня є дільником будь якого полінома степеня .

Означення

Поліном степеня , який ділиться тільки на поліноми нульового степеня, на себе самого та на поліном називається незвідним поліномом. Якщо ділиться націло хоча б на один поліном степеня , то такий поліном називається звідним.

Означення

Поліном називається спільним дільником поліномів та якщо він є дільником для кожного з цих поліномів.

Очевидно, що два полінома завжди будуть мати за спільний дільник будь який поліном 0-го степеня.

Якщо ненульові поліноми та мають декілька спільних дільників із ненульовими степенями, то серед них можна обрати найбільший дільник.

Означення

Поліном називається найбільшим спільним дільником ненульових поліномів та (НСД) якщо він є спільним дільником цих поліномів і в свою чергу ділиться на усі інші дільники цих поліномів. Позначається НСД .

Якщо ненульові поліноми та мають за спільні дільники тільки поліноми 0-го степеня, то такі поліноми називаються взаємно простими.

Алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох ненульових поліномів та .

Розглядаємо два ненульових полінома та степенів та відповідно, нехай .

1. Ділимо на .

Якщо , то

- НСД знайдено,

інакше

.

В останньому випадку з властивості 4 подільності поліномів спільний дільник поліномів та є також дільником остачі . Тобто НСД між та співпадає з НСД між та . Можна зробити перехід до розшуку НСД між та . При цьому степінь поліномів зменшується.

2. Ділимо на .

Якщо , то

- НСД знайдено,

інакше

.

Переходимо до розшуку НСД між та . При цьому степінь поліномів знову зменшується.

3. .

………………….

k-1. .

k. .

k+1. .

Оскільки степінь поліномів на кожному кроці зменшується, то процес поетапного ділення завжди буде скінченим, граничним значення остач буде поліном 0-го степеня.

З останнього кроку видно, що .

Простежуючи поступово вгору ланцюжок ділень, можна зробити висновок, що

Отже, можна зробити висновок, що в алгоритмі Евкліда НСД між поліномами та буде дорівнювати останній ненульовій остачі з ланцюжка поступових ділень.

Якщо НСД між поліномами та є поліном 0-го степеня - число , то з урахуванням властивості 5 подільності поліномів можна стверджувати, що в такому випадку НСД між та дорівнює 1.

Застосувавши властивість 5 подільності поліномів, до - полінома степеня, більшого за 0, можна подати таким чином:

Скоротивши НСД на згідно властивості подільності поліномів 5, отримаємо, що

Висновки:

1. Алгоритм Евкліда є завжди скінченим.

2. За алгоритмом Евкліда знаходимо НСД двох поліномів з точністю до числа.

3. , де - поліном з коефіцієнтом біля старшого степеня .

4. Два полінома взаємно прості тоді і тільки тоді, коли .

Приклад 1

За алгоритмом Евкліда найти НСД між та

Розв’язання.

1. Ділимо на .

 3	1	3	-1	-4	-3	3	10	2	-3
	_ 3	9	-3	-12	-9	1	-1
	3	10	2	-3
 3		-1	-5	-9	-9
		_-3	-15	-27	-27
		-3	-10	-2	3
: (-5)			-5	-25	-30
			1	5	6

можна подати так:

, тобто

, степінь остачі менша за степінь

Оскільки нас цікавить НСД з точністю до числа, то ми можемо в процесі ділення множити поліном, що ділиться, на число а залишок скоротити на спільний для всіх його коефіцієнтів дільник.

Отже, за можна взяти

2. Ділимо на .

	_ 3	10	2	-3	1	5	6
	3	15	18		3	-5
		_-5	-16	-3
		-5	-25	-30
: 9			9	27
			1	3

можна подати так:

, тобто

, степінь остачі менша за степінь

3. Ділимо на .

_ 1	5	6	1	3
1	3		1	2
	_ 2	6
	2	6
	0	0

можна подати так:

, тобто

.

Процес поступового ділення можна зупинити. Останній ненульовий залишок ланцюжка ділень є .

Отже, за алгоритмом Евкліда НСД між та дорівнює .

Відповідь.

Теорема про подання НСД двох поліномів лінійною комбінацією цих поліномів.

Якщо є найбільшим спільним дільником поліномів та , то завжди можна знайти такі поліноми та , що

Якщо степені поліномів та більші за 0, то степінь полінома хоча б на 1 менший від степеня , а степінь на 1 менший від степеня .

Доведення.

Довести цю теорему можна, побудувавши поліноми та з використанням ланцюжка ділень в алгоритмі Евкліда.

Будемо послідовно отримувати вираз для , починаючи з передостаннього ділення.

Відмітимо, що , де с – коефіцієнт біля старшого степеня в поліномі . Використовуючи попередні ділення будемо виключати з виразу для всі остачі так, щоб у кінцевій формулі залишилися тільки поліноми та

, ,

Поступово підставляючи в вираз для значення остач , отримаємо наприкінці ланцюжка зворотних підстановок вираз

, або

, що і потрібно було побудувати для доведення теореми.

Зауваження. Звернемо увагу на те, що для побудови лінійного подання НСД двох поліномів необхідні не викривленні значення неповних часток . Тому в ланцюжку ділень в алгоритмі Евкліда

- неможна множити на число поліном, що ділиться в середині процесу ділення;

- якщо на початку ділення є необхідність умножити на число поліном, що ділиться, це число необхідно урахувати при зворотному проходженні ланцюжка.

Приклад 2

Використовуючи ланцюжок ділень з попереднього прикладу подати лінійною комбінацією НСД поліномів та .

Розв’язання.

Розглянемо ланцюжок ділень з попереднього прикладу.

1. Ділення на .

 3	1	3	-1	-4	-3	3	10	2	-3
	_3	9	-3	-12	-9	1	- 1/3
	3	10	2	-3
		_ -1	-5	-9	-9
		-1	-3 1/3	- 2/3	1
: (-1 2/3)			-1 2/3	-8 1/3	-10
			1	5	6

Поліном подається так:

Тобто

2. Ділення на .

3. Ділення на .

, тобто

,

Отже,

Виконаємо обернену прогонку.

З ділення 2 маємо . Підставимо до виразу для :

З ділення 1 маємо . Підставимо до виразу для :

Отже маємо лінійне подання НСД поліномів та :

Тобто, отримали, що

Перевірка

Висновок.

Перевірка показала, що отримана лінійна комбінація поліномів дає НСД поліномів та .

Значення функцій в розкладанні НСД: .