50.Изгиб. Общие сведения. Основные понятия по изгибу.

4.1.1. Краткие сведения из теории

Прямой брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Ограничимся пока рассмотрением случая прямого плоского изгиба балок. Будем считать, что силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей бруса, т.е. силовая линия (линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения) совпадает с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки. В дальнейшем, для определенности, будем полагать, что силовая плоскость совпадает с главной плоскостью Y0Z (рис. 4.1). Все силы направлены перпендикулярно к оси Z.

Рис. 4.1

В этом случае в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора, поперечная сила Q_y и изгибающий момент M_x.

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось Y всех внешних сил, приложенных к одной из отсеченных частей балки.

Будем считать поперечную силу положительной, если кратчайшее совмещение вектора Q_yс вектором внешней нормали к сечению n происходит поворотом против часовой стрелки (рис.4.2).

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно оси X всех внешних сил, приложенных к одной из отсеченных частей балки.

Будем считать изгибающий момент положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки (рис. 4.3).

Рис. 4.2

Рис. 4.3

С учетом введенного правила знаков покажем положительные поперечную силу и изгибающий момент в некотором сечении балки (рис. 4.4)

Рис. 4.4

При изгибе балок существуют следующие дифференциальные зависимости:

 ;  ;  (4.1)

На основании зависимостей (4.1) можно сформулировать следующие характерные особенности эпюр Q и M :

1.Если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. Тангенс угла наклона эпюры М равен Q.

2. Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка (q = const), то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по квадратичной зависимости. Угол наклона эпюры Q равен q. Выпуклость на эпюре М направлена в сторону действия распределенной нагрузки q.

3. Если распределенная нагрузка изменяется по линейному закону, то поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а изгибающий момент – по кубической.

4. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, перпендикулярная к продольной оси балки, на эпюре Q будет скачок на величину этой силы, а на эпюре М – излом, острие которого направлено в сторону действия силы.

5. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, на эпюре М будет скачок на величину приложенного момента. На эпюре Q никаких особенностей в этом сечении не будет.

6. Если поперечная сила в некотором сечении балки равна нулю, то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение.

7. В концевом сечении балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной).

8. В концевом сечении балки изгибающий момент равен внешнему моменту (активному или реактивному), приложенному в этом сечении.

9. В сечении, где начинается или кончается равномерно распределенная нагрузка (при условии, что в этом сечении отсутствует сосредоточенная сила), эпюра М не имеет излома (парабола и прямая в этой точке имеют общую касательную).

При построении эпюр Q и M за базисную линию эпюры выбирается продольная ось балки. На эпюре Q положительные значения откладывают вверх, а отрицательные – вниз. Эпюра М строится со стороны растянутых волокон балки, т.е. положительные значения откладывают вниз, а отрицательные – вверх.

В отличие от балок, рамы могут иметь вертикальные, горизонтальные и наклонные стержневые элементы, жестко соединенные между собой во всех или в некоторых узлах. Продольная ось рамы представляет собой некоторую ломаную линию. Будем полагать, что все отрезки этой ломаной и все внешние силы лежат в одной плоскости. Поперечные сечения всех стержневых элементов рамы имеют хотя бы одну ось симметрии, лежащую в той же плоскости. При выполнении всех указанных допущений в поперечных сечениях стержней рамы могут возникать только три внутренних силовых фактора: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М относительно оси, перпендикулярной силовой плоскости.

Правило знаков для N и Q остается прежним. Изгибающий момент будем считать положительным, если он вызывает растяжение продольных волокон, расположенных с внутренней стороны контура рамы. Эпюру М строим со стороны растянутого волокна.