Практическая работа № 8
Тема практической работы: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения
Цель работы
1. Научиться выполнять операции над векторами в координатной форме на плоскости и в пространстве
2. Отработать навык вычисления длины и скалярного произведения векторов
Оборудование
1. Условие «Практической работы № 8»
Перечень используемых источников
1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, п/р Г.Н. Яковлева. (часть 1). – М.: Наука, 1987.
2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И Л., Математика. – М.: Высш. шк., 1991.
3. Филимонова Е.В., Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2004.
Содержание и порядок выполнения работы (описание хода работы)
Справочный материал
Вектора на плоскости: Пусть даны
две точки А(х1;у1)
и В(х2;у2).
Тогда координаты вектора
,
длина
.
Действия над векторами: Пусть даны
два вектора
и
.
1)
; 2)
;
3)
.
Косинус угла между векторами:
.
Справедливо: 1)
их координаты пропорциональны; 2)
Вектора в пространстве: Пусть даны две точки А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2).
Тогда координаты вектора
,
длина
.
Действия над векторами: Пусть даны
два вектора
и
.
1)
; 2)
;
3)
.
Содержание работы
1. Даны вектора
.
Найти: а) координаты
;
b)
;
c)
;
d)
.
Решение: а)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Используя рассмотренные примеры, выполнить следующие задания:
2. Даны вектора
.
Найти: а) координаты
;
b)
;
c)
;
d)
.
3. Найти периметр и углы треугольника АВС, если А(1;-1;3), B(3;-1;1), C(-1;1;3).
4. Определить вид четырех угольника ABCD, если: a) А(1;3), B(4;7), C(2;8), D(-1;4);
b) A(1;3), B(2;1), C(-1;3), D(-2;5); c) A(2;3), D(7;5), C(10;2), D(0;-2).
5. В точке приложены силы
.
Найдите равнодействующую силу и углы,
которые она образует с составляющими.
Выводы и предложения (по данной практической работе)
Векторный метод позволяет решать большой спектр задач геометрии и физики.
Вопросы для самоконтроля
1. Сколько векторов заданной длинны: а) сонаправленных с данным; б) противоположных данному; в) задающих две упорядоченных точки?
2. Может ли сумма векторов быть: а) равной разности; б) больше суммы их длин?
3. Начнет ли двигаться покоящаяся точка, если в некоторой плоскости на нее стали действовать три равновеликие силы, расположенные под равными углами друг другу?
4. Какие значения может принимать модуль равнодействующей двух сил, модули которых 3 Н и 7 Н?
5. Справедливо ли утверждение:
?
6. Какой угол с осью Ох вектор: а)
,
в)
?
7. Под каким углом к оси Ох двигалось тело из точки (1:1) в точку (4;4)?
Практическая работа № 9
Тема практической работы: Составление уравнений прямых. Построение графиков
Цель работы
1. Научиться составлять уравнения прямых, используя различные данные.
Оборудование
1. Условие «Практической работы № 9»
Перечень используемых источников
1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, п/р Г.Н. Яковлева. (часть 1). – М.: Наука, 1987.
2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И Л., Математика. – М.: Высш. шк., 1991.
3. Филимонова Е.В., Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2004.
Содержание и порядок выполнения работы (описание хода работы)
Справочный материал
Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0, где А2+В20.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b, где
,
b равен ординате
точки пересечения прямой у с осью
Ох.
Уравнение прямой в отрезках:
,
где a, b
– отрезки, отсекаемые прямой на осях
координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y-y1=k(x-x1), где М(х1;у1) – точка, через которую проходит прямая.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: (х2-х1)(у-у1)=(у2-у1)(х-х1), где М(х1;у1), М(х2;у2) – точки, через которые проходит прямая.
Содержание работы
1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=-3 и образующей с положительным направлением оси угол =/6.
Решение:
2. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а=2/5, b=-1/10.
Решение:
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-1;-4) под углом 1350.
Решение: k=tg1350=-1 y-(-4)=-1(x-(-1)) y=-x-5 x+y+5=0
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2;-3) и В(-1;4).
Решение: (-1-2)(у-(-3))=(4-(-3))(х-2) 7х+3у-5=0
Используя рассмотренные примеры, выполнить следующие задания:
5. Даны вершины треугольника А(-3;6), В(4;-1), С(-3;-5). Составить уравнение прямой, содержащей: а) сторону АВ; b) высоту СН; с) медиану АМ; d) биссектрису ВL.
6. Луч света, пройдя через точку А(2;3) по углом к оси Ох, отразился от нее и прошел через точку В(-5;4). Определить угол . Выполните построение.
7. Составить уравнение прямой, проходящей: а) через точку А(8;2) и параллельной прямой у=-0,75х+12, b) В(-4;3) и перпендикулярной прямой у=4х-6. Выполните построение.
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-3;8) и отсекающей на оси Ох отрезок, вдвое меньший, чем на оси Оу. Выполните построение.
8. Сила приложена к началу координат и составляющие ее по осям Ох и Оу соответственно раны 5 и -2. Составить уравнение прямой, по которой направлена сила. Выполните построение.
9. Перевозка груза (с учетом погрузки) из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км, стоит 20000 руб., а из пункта А в пункт С, расстояние между которыми 400 км, стоит 15000 руб. Найти зависимость перевозки от расстояния, если она линейная. Выполните построение.
Выводы и предложения (по данной практической работе)
Использование той или иной формы уравнения прямой зависит от известных данных, но в конце удобнее приводить уравнение к общему виду.
Вопросы для самоконтроля
1. Является ли уравнение │х│+│у│=0 уравнением прямой?
2. При каких значениях а прямая х+у+а2-2а+1=0 проходит через начало координат?
3. Всегда ли угол между прямыми равен углу между двумя векторами, перпендикулярными этим прямым?
4. При каких значениях р прямая 2х+ру+р2-1=0: а) параллельна оси Оу; b) проходит через начало координат?
5. Может ли угол наклона прямой к оси Ох равняться: а) 1700, б) 2100?