шпоргалка / подготовка к ЭКЗАМЕНУ / 1. напряженное состояние в точке

1. Напряженное состояние в точке. Обобщенный закон Гука. Модуль упругости первого рода.

Вектор напряжений p_n является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторовп, р_n в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектора n,достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dF_х=dydz, dF_н==dxdz, dF_я=dxdy. Векторы напряжений p_x, p_y, p_z, действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 5.

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения  с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.

Рис. 5 Равновесное состояние бесконечно-малого параллелепипеда

Рис.6 Компоненты тензора напряженного состояния

 

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

Для изотропного материала тензор  содержит только два независимых коэффициента.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышениипредела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

модуль упругости [modulus of elasticity] -величина, хар-риз. упр. св-ва материала. В случае малых деформаций, когда справедлив закон Гука, т.е. имеет место линейная зависимость м-ду напряжениями и деформациями, м. у. представляет коэфф. пропорц. в этих соотношениях. М. у. определяют для трех видов деформаций: линейного растяжения, чистого сдвига и объемного сжатия. Способность материала упруго сопротивляться растяжению или сжатию хар-ризует м. продольной упругости (м. Юнга, м. первого рода) Е. Он равен отношению норм, напряжения а, к относит. удлинению &,/Е = а,/Е,. Способность материала сопротивляться изменению формы при неизм. объеме хар-ризует м. сдвига (м. второго рода) С. Он равен отношению касат. напряжения т к величине угла сдвига у/С = т/У-Способность материала сопротивляться изменению объема хар-ризует м. объемного сжатия (м. объемной упругости) К. Он равен отношению среднего нормального напряжения о = (CT! + а2 + а3)/3 к величине относительного сжатия объема (0 = Зе = е, + Е2 + е}): K = = сг/9. В однородном изотропном теле м. у. одинаковы по всем направлениям и связаны двумя соотношениями: G = ?/[2(1 + v)], К = = ?/[3(1 - 2v)J, где v — коэфф. Пуассона. В случае анизотропного материала постоянные ? и G принимают разные значения в разных направлениях и величины их могут меняться в широких пределах. М. у. не являются строгопостоянными для одного и того же материала, их значения изменяются в завис, от химии, состава материала и его предварит, обработки (термин., давлением и др.) и темп-ры испытания;