106 Внутренние силовые факторы.

Рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную двумя силами F:

Анализ внутренних сил начинается с определения опорных реакций освобождением стержня от связей с другими элементами конструкций (опорами). Пренебрегая силами тяжести масс стержня, из условия равновесия найдем опорные реакции:F_A=F_B=F. Для определения внутренних силовых факторов в каком-либо сечении участка CD стержня мысленно разрежем его на две части и рассмотрим равновесие одной из них, например левой. Для чего, приложим в точке c₁ при x₁<a+b неизвестные внутренние силовые факторы: нормальную силу N(x₁), перерезывающую силу Q_y(x₁), изгибающий момент M_z(x₁).

Составим уравнения статики:ΣY=0; F_A-F-Q_y(x₁)=0; M_z(x₁)=0. Учитывая, что F_A=F, из этих уравнений найдем: Q_y(x₁)=0, M_z(x₁)=Fa. Таким образом, перерезывающая сила Q_y(x₁), равна сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих на отсеченную часть, т. е. Q_y(x)=ΣF^(л)_y. Изгибающий момент, действующий в сечении стержня равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, т. е. M_z(x)=Σm. Верхний индекс «л» в этих уравнениях указывает на левую часть стержня. В рассмотренном примере перерезывающая сила Q_y(x₁)=0.

Если взять сечение m₂-m₁ на участке АС и рассмотреть равновесие левой части, то найдем, что при 0≤x₂<a; Q_y(x₂)=F_A=F; M(x₂)=F_Ax₁=Fx₁. Следовательно, этот участок стержня находится в условиях поперечного изгиба.

107. Построение Эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Эпюры - графики изменений поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси стержня. Построение эпюр начинают с определения опорных реакций. Затем стержень разбивают на участки с однородной внешней нагрузкой. Рассматривают произвольное сечение в пределах данного участка и составляют общие выражения для поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении. Выбирая произвольные значения x в пределах того же участка, находят ординаты эпюр. Рассмотрим двухопорный стержень, нагруженный сосредоточенной силой F. Из уравнения равновесия: Σm_a=F_Bl-Fa=0; находим реакцию в правой опоре F_B=Fa/l. Из второго уравнения равновесия ΣY=F_A-F+F_B=0, находим реакцию в левой опоре F_A=Fb/l. Рассматриваемый стержень содержит два участка (АС и CD) с однородной нагрузкой. Составим (с учетом правила знаков) уравнения равновесия для первого участка: Q_y(x₁)=ΣF^(л)_y=F_A=Fb/l; M_z(x₁)=Σm^(л)_c=F_Ax₁=Fbx₁/l.

Двухопорная балка и эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Вэтих уравнениях перерезывающая сила на участкеАС положительна и постоянна. Изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x₁ сечения при x₁=0 момент М(0)=0, при х₁=а момент М(а)=Fab/l. На втором участке CB при (a≤x₂≤l), эти уравнения примут вид: Q_y(x₂)=ΣF^(л)_y=F_A-F=Fb/l-F=-Fa/l; M_z(x₂)=Σm_c=F_Ax₂-F(x₂-a)=Fbx₂/l-F(x₂-a). Перерезывающая сила на этом участке отрицательная и постоянна. Изгибающий момент изменяется линейно, при x₂=a момент М(а)=Fab/l, и при x₂=l момент M(b)=0 (l-a=b). Эпюра перерезывающих сил в точке приложения сосредоточенной силы F имеет скачок на величину этой силы, а эпюра изгибающего момента имеет излом. Определение перерезывающих сил и изгибающих моментов в сечениях стержня при действии равномерно распределенной нагрузки. Двухопорная балка при действии распределенной нагрузки.

Благодаря симметрии системы опорные реакции равны F_p=F_Bql/2, здесь ql –полная нагрузка на стержень. Стержень содержит лишь один однородный участок. Внутренние силовые факторы в сечении при x=x₁ (0≤x₁≤l) определим, как обычно, по уравнениям: Q_y(x₁)=F_A-qx₁=ql/2-qx₁; M_z(x₁)=F_Ax₁-qx₁•x₁/2=qlx₁/2-qx₁²/2. Первое из этих уравнений является уравнением прямой линии. Ее можно построить по двум точкам: при х=0 Q_y(0)=ql/2; при x=l Q_y=-ql/2. Второе уравнение – парабола. При x=0 момент M_z(0)=0; при x=l момент M_z(l)=0. Наибольшая ордината в середине пролета при x=l/2, здесь изгибающий момент M(l/2)=ql²/8. Из эпюр видно, что в сечении, где изгибающий момент имеет максимальное значение, поперечная сила равна нулю.