3. Мотивация.

Непрерывные дроби дают самое "математически естественное" представление вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a₀ может быть любым целым числом, а последующие a_i - элементы множества {0,1,2,…,9}. В этом представлении число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них: многие рациональные числа не имеют конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 выбрана, по сути, произвольно, мы оказываем предпочтение числам, которые как-либо связаны с целым числом 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще, чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит некоторую степень 10 (10⁶ = 1600 × 625). Запись в виде цепной дроби не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим, как мы можем описать число 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4. Вообще-то это чуть больше, чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше, чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе неточно; настоящее значение чуть больше 6: это 6+1/7. Таким образом, 415/93 = 4+1/(2+1/(6+1/7)). Это точное равенство.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)), мы получим краткую нотацию [4;2,6,7]. (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой.)

Представление вещественного числа в виде непрерывной дроби может быть определено таким образом. Оно имеет несколько желательных свойств:

• Непрерывная дробь конечна тогда и только тогда, когда число является рациональным.

• Каждое рациональное число имеет, по существу, единственное представление непрерывной дробью. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. [a₀; a₁, … a_n − 1, a_n] = [a₀; a₁, … a_n − 1, a_n − 1, 1]. Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качестве канонического представления.

• Представление непрерывной дробью иррационального числа единственно.

• Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет вид

для целых a, b, c, d; где b и d не ноль, c>1 и c не являются точными квадратами.

К примеру, периодическая непрерывная дробь [1; 1, 1, 1, …] является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь [1; 2, 2, 2, …] является квадратным корнем из 2.

• Отбрасывание "хвоста" цепной дроби, равной числу x, приводит к рациональному приближению x, которое в определенном смысле является "наилучшим" рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет. Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям, в частности, 142/1000, 14/100 и 1/10. Но, очевидно, лучшим рациональным приближением будет само число "1/7". Обрывая десятичное представление π, мы получим, например, приближения 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается так: [3; 7, 15, 1, 292, …]. Обрывая это представление, мы получаем отличные рациональные приближения 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки в приближении 333/106. Как приближение π, [3; 7, 15, 1] более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

Приложение 1.

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Приложение 2.

Рассмотрим сравнение: , где известны, причём можно считать, что a взаимно просто с m. Надо найти x.

Разложим в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь . Подставим в формулу (1):

mq_{n − 1} − ap_{n − 1} = ( − 1)^{n − 1}

Отсюда вытекает:

,  или:  

Вывод: класс вычетов   является решением исходного сравнения.

Приложение 3.

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) ^[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n при помощи

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно от φ, тем самым никогда не создавая приближения, столь же внушительные, как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c иd являются целыми числами, причём ad − bc = ±1 – имеет такое же свойство, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Заключение.

Данная исследовательская работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Используемая литература.

1. Интернет – ресурсы.

2. Сайт «Википедиа».