
7.1. Схема без возвращения с упорядочением
Из урны с n шарами извлекается m шаров по одному, при этом порядок важен, т. е. какой шар окажется на первом, втором и т. д. местах имеет принципиальное значение. Первый шар может быть выбран n способами, второй n1 способами (выбор из n1 шара) и т. д. и, наконец, последний m-й шар nm+1 способами. Поскольку выбор шара на каждом шаге может комбинировать со всеми способами выбора остальных шаров, то общее количество возможных вариантов составляет
N=n(n1)...[nm+1]
=
=
=
.
|
1 2 3 4 5 6 |
1 2 3 4 5 6 |
12 13 14 15 16 21 23 24 25 26 31 32 34 35 36 41 42 43 45 46 51 52 53 54 56 61 62 63 64 65 |



Пример. Какова
вероятность того, что последовательное
расположение номеров двух шаров,
наугад извлеченных без возвращения
один за другим из урны с шестью
перенумерованными шарами, даст
двузначное число, кратное 7, т.е.
делящееся на семь нацело. Таким
образом, вводя соответствующие
обозначения будем искать Р(“”),
где
номера первого и второго шаров, а
натуральное число. В помощь решению
задачи составим таблицу всех мыслимых
исходов. Всего исходов N
=
= 6·5
= 30, что подтверждает таблица, при
шести благоприятных исходах
по одному в каждой строке таблицы:
14, 21, 35, 42, 56, 63. Тогда искомая вероятность
Р(“”)
=
=
= 20%,
что не так уж и мало.
7.2. Схема без возвращения и без упорядочения
При извлечении из урны m шаров одного за другим их порядок не имеет значения, т.е. выборки отличаются только составом. В этих условиях комбинации (1, 2) и (2, 1) в отличие от предыдущего примера становятся неразличимыми. Подобная ситуация может возникнуть, если на экзамене преподаватель по доброте душевной разрешает вытащить сразу два билета и тогда для студента по существу важны только сами номера билетов и безразлично какая комбинация номеров ему досталась (3, 7) или (7, 3).
В совокупности из m шаров возможно произвести m! перестановок, которые по условию неразличимы между собой. Поэтому общее количество вариантов (исходов) по сравнению с предыдущей схемой должно быть меньше в m! раз и составит
N
=
=
=
.
Величина
называется числом сочетаний из n
элементов по m.
Для обеспечения
дееспособности данной формулы при
всех целых 0mn
чисто формально принимается =
= 1, поскольку не выбрать ни одного
элемента (m=0)
или выбрать все элементы из любой
совокупности (m=n)
в рассматриваемых условиях можно
только одним способом.
Пример. В урне находится 7 черных шаров и 3 белых. Какова вероятность события А=”из 4-х наугад выбранных шаров ровно 2 будут белыми”.
В силу отличия
различных комбинаций из 4-х шаров
исключительно составом всего исходов
насчитывается
N
=
=
=
= 210.
Количества исходов
выбора двух белых и черных шаров
равны соответственно
= 3 и
= 21. Поскольку каждый вариант выбора
белых шаров может сочетаться с любым
вариантом выбора черных шаров, то
число благоприятных исходов выразится
величиной 3·21=63
и, тогда,
Р(А)
=
= 0,3.
7.3. Схема с возвращением и с упорядочением
Из урны с n шарами m раз повторяется процедура извлечения шара и его возвращения обратно с фиксацией порядка вытащенных шаров. На каждом шаге такого эксперимента ситуация одна и та же выбирается любой из n шаров, что естественно может быть сделано n способами. В результате опыта образуется набор из m шаров, в котором каждый шар может комбинировать с каждым, в том числе и с самим собой. Всего возможных исходов
m
N = n·
n·
. . . ·
n
=
.
Пример. Из телефонной книги с 7- значными номерами наугад выбирается номер. Найти вероятность того, что все цифры в номере различны, если все комбинации цифр в номере равновозможны. Иными словами условиями задачи допускаются номера 0000000, 0001111, 1010101 и т.п.
Общее количество
номеров в такой схеме N
=
= 10000000.
Благоприятные
исходы представляют наборы из 7 цифр,
отличающиеся не только самими цифрами,
но и их порядком. Тогда количество
благоприятных исходов определяется
числом размещений m
=
и потому
Р(А)
=
≈
0,06.
7.4. Схема с возвращением без упорядочения
Из урны с
n
шарами m
раз извлекается шар и возвращается
обратно без учета порядка.
В результате эксперимента образуются
комбинации из m
шаров,
отличающиеся только своим составом.
Для подсчета общего числа исходов
естественно используется число
сочетаний. Такой опыт эквивалентен
извлечению одновременно n+m1
шаров c
подсчетом общего числа исходов с
помощью числа сочетаний. Здесь “1”
образуется вследствие того, что
возвращение последнего шара в урну
уже никак не может повлиять на
результат. Убедиться в этом помогает
пример выбора одного единственного
шара, что может быть сделано n
способами. При этом =
=
=n,
как тому и следует быть.
Пример. Покупатель в кондитерской выбил чек на 4 пирожных из 7 видов, имеющихся в продаже. Какова вероятность того, что куплены пирожные: одного вида (событие А); разных видов (В); две пары разных видов. Содержание данной задачи соответствует схеме выбора с возвращением без упорядочения. В самом деле, купив один эклер можно купить и второй (возвращение) и при этом, какой из них куплен первым не имеет ровным счетом никакого значения.
Общее количество
исходов составляет N==
=210.
Число благоприятных исходов для события А определяется исходя из общего количества разных видов пирожных m(А)=7 и потому
Р(А)
=
=
.
|
1 2 3 4 5 6 |
1 2 3 4 5 6 |
12 13 14 15 16 17 23 24 25 26 27 34 35 36 37 45 46 47 56 57 67 |

Р(В)
=
=
.
Поскольку из
7 элементов можно сгруппировать
=21
различных пар, то событие С реализуется
с вероятностью
Р(С)
=
=
.
Для того, чтобы убедиться в правильности подсчета количества благоприятных исходов достаточно составить таблицу с их перечислением. Полученный результат свидетельствует, что наиболее вероятным является событие В.
8 Геометрическая вероятность
Одним из
классических экспериментов теории
вероятностей является “вбрасывание
точки” в некоторую геометрическую
замкнутую область. Для определенности
зададим на плоскости квадрат со
стороной равной 1 и обозначим его Ω.
В этот квадрат наугад вбрасывается
точка и гарантированно в него попадает.
Более того, предполагается, что все
точки квадрата равноправны и потому
все исходы такого эксперимента
равновозможны в смысле попадания в
любую точку Ω.
Эксперимент имеет бесконечное множество
равновозможных и несовместных
исходов, каждый из которых отождествляется
с точкой квадрата с координатами
(𝑥,
𝑦).
Обозначим А некоторую подобласть
Ω,
как это показано на рисунке, и будем
считать событием А попадание в
одноименную область. Прозвучавшие
выше термины равновозможности,
несовместности и благпприятности
свидетельствуют, что мы уже совсем
близки к применению формулы классической
вероятности. Осталось только
конкретизировать способ численного
определения количества благоприятных
исходов и всех мыслимых исходов.
Поскольку в качестве интегральных
числовых характеристик этих исходов
реально мы располагаем только
размерами одноименных площадей, то
количество исходов каждого вида
отождествляется с соответствующими
площадями. При этом площадь квадрата
S(Ω)
выражает общее количество исходов,
а S(А)
число благоприятных исходов. Тогда
в соответствии с определением
классической вероятности как отношения
числа благоприятных исходов к общему
количеству равновозможных и несовместных
исходов для расчета так называемой
“геометрической” вероятности события
А получаем формулу
Р(А)
=.
Применительно к ситуации, изображенной на рисунке, находим
Р(А)
=
= 0,35.
Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности:
отношение площади вложенной фигуры А к площади Ω неотрица-
тельно и не превосходит 1;
несовместным событиям отвечают непересекающиеся области и
потому их сумме соответствует суммарная площадь;
полному набору событий соответствует разбиение Ω на непересе-
кающиеся области, дающие в своем объединении Ω.
Для иллюстрации практического применения геометрической вероятности рассмотрим следующую задачу: юноша и девушка договорились о встрече между 19 и 20 часами, поклялись непременно придти и условились, что один ждет другого только 15 мин, а затем уходит. Какова вероятность их встречи.
Преодолев
первоначальное замешательство от
такой постановки вопроса, напряжем
свои логические способности. Очевидно,
что сначала надо выжать все возможное
из имеющихся исходных данных и затем
распорядиться полученной информацией
сообразно ее содержанию. Итак, интервал
встречи составляет 1 час. Поскольку
влюбленные гарантированно приходят
в этот интервал времени, то следует
как-то обозначить время их прихода
в долях часа: 𝑥
пришел юноша; 𝑦
пришла девушка. По условию задачи
для встречи необходимо, чтобы разность
между моментами их прихода вне
зависимости от того кто пришел первым
не превышала
часа, т.е.
. При наличии двух параметров 𝑥
и 𝑦
в голову сразу же приходит мысль о
декартовой системе координат, в
которой моменты прихода изобразятся
точкой (𝑥
, 𝑦)
с соответствующими координатами.
Причем все точки улягутся точно в
квадрат с единичной стороной. Например,
если юноша и девушка пришли в 19.30 и
19.40, то такая ситуация отождествится
с точкой квадрата (½,
).
Далее, займемся препарированием
модульного неравенства и с помощью
школьных знаний без большого труда
получим два неравенства:
которые
в своей совокупности устанавливают
ограничения на возможные изменения
параметра :
Обратившись к разделу “Линейное
программирование” п. 5.6 нетрудно
установить, что это двойное неравенство
задает на плоскости область между
двумя прямыми
:
,
и
:
,
ограниченную еще к тому же рамками квадрата Ω. Построив эти прямые по двум точкам их пересечения со сторонами Ω
{:
(
,
0), (1,
)},
{
:
(0,
),
(
,
1) }, и определив с
помощью их нормальных векторов
=(1,
1)
и
=(
1,
1) зоны действия соответствующих
неравенств получим фигуру В, обозначенную
на рисунке штриховкой. Каждая точка
В гарантирует встречу молодых людей,
т.е. является благоприятной для
одноименного события В=”встреча
состоялась”. Теперь для решения
задачи с полным основанием можно
применить формулу геометрической
вероятности. Площадь фигуры В удобно
вычислить как разность площади Ω и
общей площади двух не заштрихованных
треугольников, которые будучи
сложенными вместе по гипотенузе дадут
опять-таки квадрат, но уже со стороной,
равной
.
Тогда
Р(В)
==
=
1
=
= 50%.
Полученный результат свидетельствует, что при заданных исходных данных молодые люди встретятся с вероятностью немного меньшей 0.5, т.е. встреча скорее не произойдет, нежели состоится.
Таким образом, задача о встрече успешно решена с помощью изначально не очевидных, но простых геометрических построений. Рассмотренный пример изящного применения аппарата ТВ вкупе с приведенными выше схемами выбора шаров из урны демонстрируют широту возможностей этой науки в решении широкого круга практических задач.
Ранее говорилось, что вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме их вероятностей. Геометрическая вероятность помогает установить правило вычисления вероятности суммы двух событий в случае их совместности. Для начала вспомним иллюстрацию этой ситуации кругами Эйлера в случае совместности случайных событий. Здесь АВ произведение соответствующих событий. Очевидно, что S(А+В) = S(А)+S(В)S(АВ),
поскольку
при сложении площадей А и В площадь
их пересечения АВ будет учтена дважды
в составе А и В. Поэтому следуя
принципам геометрической вероятности
в случае совместности случайных
событий получаем
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ)
и если события несовместны, то в силу Р(АВ)=0 данная формула превращается в полученное ранее соотношение “вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме их вероятностей”, а в противном случае в этом соотношении появляется поправочный член, учитывающий совместность случайных событий в виде вероятности их произведения. Хотя данная формула верна в общем случае приведенные здесь рассуждения не являются строгим доказательством и скорее могут рассматриваться в качестве мнемонического правила.