1. Теорія визначників n-го порядку.

Для введення поняття визначника -го порядку потрібна інформація з теорії перестановок і підстановок.

1. Перестановки з n символів.

Означення 1. Перестановкою з символів називається розташування цих символів в деякому порядку.

Означення 2. Транспозицією називається таке перетворення перестановки, при якому два її елементи міняються місцями.

Теорема 1. З символів можна скласти перестановок.

Доведення.

Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.

1. При це твердження є правильним, бо маємо дві перестановки: 1 2, 2 1.

2. Зробимо індуктивне припущення: з символів можна скласти перестановок.

3. Покажемо справедливість індуктивного переходу для .

Розглянемо всі перестановки з символів за такою схемою. Запишемо спочатку всі перестановки, що починаються з одних одиниць.

Ця група знаходиться в умовах індуктивного припущення. За індуктивним припущенням з символів утворюється перестановок.

Запишемо всі перестановки, що починаються з двійки, трійки, тощо.

Останньою буде група перестановок, що починаються з .

Таким чином всі перестановки розбиваються на k+1 клас, в кожний з яких входить k перестановок. Отже всього буде k!(k+1)=1ˑ2ˑ…ˑkˑ(k+1)=(k+1)! перестановок. З доведеного за принципом математичної індукції дане твердження є правильним при довільному натуральному .

Теорема 2. Усі перестановок з символів можна записати таким списком, в якому кожна наступна перестановка може бути отримана з попередньої шляхом однієї транспозиції.

Доведення

Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.

При це очевидно: 1,2;

2,1.

Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження при . Доведемо справедливість твердження при . Запишемо всі перестановки, що починаються з 1.

1, 2, 3, ... , ,

1, ...

Розглянувши останні символів бачимо, що для цих перестановок діє індуктивне припущення. Тоді ці перестановки можна записати потрібним списком. Аналогічні міркування застосуємо для тих перестановок, що починаються з 2, 3, ..., .

На стикуванні отриманих груп перестановок першу перестановку наступної групи отримаємо з останньої за рахунок транспозиції символів, що є першими у цих групах.

Теорему доведено.

Означення 3. Два символи та складають інверсію, якщо , але в перестановці знаходиться раніше.

Означення 4. Перестановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій в ній парна, і непарною в протилежному випадку.

Теорема 3. Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення.

При доведенні слід розглянути 2 випадки.

1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:

Зауважимо, що після транспозиції положення та відносно інших елементів не зміниться. Таким чином, якщо , то вони створюють інверсію і після транспозиції інверсій стане на одну менше. Якщо , то загальна кількість інверсій навпаки збільшиться на одну.

Отже парність перестановки змінюється.

2. Між елементами та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться інші елементи:

Зробимо транспозицію поступово.

Будемо міняти місцями та сусідній справа, поки не поміняється із . Для цього буде необхідно зробити t+1 транспозицій.

Щоб поставити на місце , необхідно зробити транспозицій із сусідами зліва. Загалом буде зроблено 2t+1 транспозицій, тобто в наслідок попереднього випадку парність перестановки змінюється.

Теорему доведено.

Теорема 4. При n≥2 кількість парних перестановок дорівнює кількості непарних перестановок, тобто .

Доведення. Запишемо всі перестановок так, як це пропонує теорема 2 . Тоді за теоремою З у цьому списку буде чергування парних і непарних перестановок.

При n≥2 – парне число, тому список має парну кількість перестановок, половина з яких є парними, половина – непарними.

Теорему доведено.