4.2. Типы задач и методы их решения Классификация

1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы.

Метод решения.

Непосредственно интегрирование выражения для момента инерции тела .

Предварительное вычисление момента инерции тела относительно точки по формуле с последующим использованием соотношения .

2.Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.

Метод решения.

Применение основного уравнения динамики для вращательного и поступательного движения.

Применение закона сохранения энергии.

3. Упругий и неупругий удар в твердое тело, закрепленное на оси.

Метод решения. Применение законов сохранения энергии и момента импульса взаимодействующих тел.

4. Определение работы при вращательном движении.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения , либо использование соотношения

.

Примеры

I тип задач

1. Найти момент инерции однородного круглого цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.

Решение

Р

ассмотрим тонкостенный цилиндр радиусом r, толщиной dr и высотой h (рис. 4.1). Его объем

.

Момент инерции тонкостенного цилиндра

,

где - плотность цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра определится интегралом

Ввиду однородности цилиндра

С учетом этого, получим окончательно

.

2. Найти момент инерции однородного шара радиусом R и массой m: 1) относительно оси, проходящей через центр шара; 2) относительно оси, касательной к поверхности шара.

Решение

1) Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами

,

где - объем сферического слоя.

Момент инерции сферического слоя относительно центра шара, очевидно, равен

,

а момент инерции всего шара

.

Согласно формулы

,

где ввиду симметрии и момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара, равен

.

С учетом того, что , получим окончательно

.

2) Согласно теореме Штейнера момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности,

,

где , .

После подстановки получим

.

II тип задач

1

. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂. Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

Заданная система состоит из трех тел – грузов m₁ и m₂, движущихся поступательно, и блока, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.2). Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

Установим силы, действующие на тела данной системы, и напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Уравнения движения этих тел в проекции на ось у имеют вид

, (1)

. (2)

Вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока

. (3)

Мы учли, что по третьему закону Ньютона силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

, .

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, следовательно,

, (4)

где R – радиус блока; - его угловое ускорение.

Решение системы трех уравнений с учетом соотношения (4) дает искомый результат

.

2. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найти ускорение центра инерции шара.

Решение

Решим данную задачу двумя методами: как непосредственным использованием основного уравнения динамики, так и с помощью законов сохранения,

1-й метод

На шар действует сила тяжести , сила нормальной реакции и сила трения (рис. 4.3). Последняя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Следовательно, шар совершает сложное плоское движение, представляющее сумму поступательного движения и вращения вокруг центра инерции, уравнения которых в скалярной форме имеют вид

, (1)

. (2)

Найдем связь между а_с и . Поскольку шар участвует в двух движениях, скорость любой его точки

где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра инерции.

Для точки М в проекции на ось х

.

При отсутствии скольжения и , а после дифференцирования

. (3)

Учитывая (3) и выражение для момента инерции шара , преобразуем (2) к виду

. (4)

Решая уравнения (3) и (4) совместно, получим

.

2-й метод

Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть его положение в данный момент определяется координатой х. Полная механическая энергия шара, при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О, будет равна

.

Дифференцируя данное выражение по времени, получим

.

После преобразования, с учетом того, что , , и , будем иметь

.

Откуда, заменяя момент инерции шара его значением , найдем .