Примеры решения задач

I тип задач. На горизонтальной плоскости лежит брусок 1 с массой m₁, на который помещен груз 2 с массой m₂ (рис. 2.1). Сила F приложена к грузу под углом к горизонту, коэффициент трения между плоскостью и бруском , между бруском и грузом . Найти ускорение обоих тел.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело в отдельности. На груз 2 действуют: сила , сила трения , сила тяжести груза и реакция опоры (бруска) . На брусок 1 действуют сила трения (увлекает брусок вслед за грузом), сила тормозящего трения между бруском и плоскостью ., сила тяжести бруска и вес груза , сила реакции опоры Согласно II закону динамики для груза и бруска имеем:

, (1)

. (2)

Выбрав оси координат, как показано на рис. 2.1 и проектируя векторные выражения (1) и (2) на оси х и у, получим:

Учитывая также, что , , находим

; ; ;

, (5)

(6)

II тип задач. При падении тела с большой высоты его скорость при установившемся движении достигает значения м/с. Определить время , в течение которого, начиная от момента падения, скорость становится равной . Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости.

Решение

На падающее тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и свойств окружающей среды. Уравнение движения тела в векторной форме будет иметь вид:

. (1)

Спроектировав данное уравнение на вертикально направленную ось, имеем

. (2)

После разделения переменных получим

.

Интегрируя правую часть уравнения от нуля до , а правую соответственно от нуля до :

,

.

После подстановки пределов интегрирования найдем

. (3)

Входящий в данные выражения коэффициент пропорциональности определим из условия равновесия сил для установившегося движения ()

,

откуда .

Подставив найденное значение k в формулу (3), получим окончательно:

.

III тип задач. Ракета, масса которой в начальный момент кг, запущена вертикально вверх. Определить ускорение, с которым движется ракета через t = 5 с после запуска, если скорость расхода горючего кг/с, а относительная скорость выхода продуктов сгорания м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Запишем уравнение Мещерского в проекции на вертикальную ось для момента времени t

. (1)

Масса ракеты изменяется со временем

. (2)

После подстановки и преобразования получаем

=32 м/с².

I V тип задач.

1. На наклонной плоскости с углом при основании , движущейся влево с ускорением м/с², находится брусок (рис. 2.2). Найти ускорение бруска относительно плоскости, если коэффициент трения .

Решение

Выберем неподвижные оси координат, как показано на рис. 2.2., а подвижные оси x’ и y’ свяжем с движущимся бруском. В данном случае подвижная система отсчета будет являться неинерциальной, т.к. движется с ускорением относительно неподвижной системы отсчета ху. Поскольку это движение поступательное, уравнение II закона Ньютона в системе для тела массой m запишется в виде

, (1)

где - сила трения; ; - реакция опоры; - сила тяжести, а - сила инерции.

В проекциях на координатные оси и

, (2)

. (3)

Совместное решение уравнений (2) и (3) дает

=2,4 м/с².

2. Электровоз массой m = 189·10³ кг движется вдоль меридиана со скоростью = 20 м/с на широте . Определить горизонтальную составляющую F силы, с которой электровоз давит на рельсы.

Решение

Пусть электровоз движется в направлении на север. Тогда на него будет действовать сила Кориолиса, направленная на восток (рис. 2.3). Она и будет обеспечивать боковое давление на рельсы колес электровоза.

Сила Кориолиса

.

Модуль ее .

Угловую скорость подвижной системы отсчета (Земли) вычислим по формуле , где Т –период вращения Земли.

Окончательно =.