2.2. Спектральне представлення імпульсних сигналів

Нехай заданий сигнал s(t) має форму одинокого імпульсу (рис. 2, а), який відрізняється від нуля на інтервалі () і задовольняє умові Діріхле у будь-якому

кінченому інтервалі та є абсолютно інтегрованою функцією, тобто .

Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетвори-

мо задану неперіодичну функцію s(t) у періодичну повторенням її з довільним періодом Т > (рис. 2, б).

Отриману періодичну функцію можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є , , будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал Т як період. Це випливає із виразів (610). Якщо період Т збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і за- лишиться лише первинний імпульс . При збільшенні періоду Т до нес-кінченності отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складо-

в

их, сума яких дає початкову неперіодичну функцію s(t), задану в інтервалі -

Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при тому нескінченно велика, тому що при основна частота функції Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка рівна основній частоті ) стає нескінченно мала, спектр - суцільний.

Звідси доходимо висновку, що при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нес-кінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами. Тому для опису імпульсного сигналу використовують поняття спектральної густини. Слід відзначити, що спектральна густина - не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частоті енергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві. Вона визначається з виразу:

(11)

Функція називається комплексною спектральною густиною або комп-лексною спектральною функцією. Модуль комплексної спекральної густини характеризує густину розподілу амплітуд спектральних складових суцільного

спектра з частотою , а її аргумент - фазовий спектр, про що було сказано раніше.

Доцільно відзначити, що миттєве значення сигналу однозначно пов’язане з його спектральною густиною виразом:

(12)

Формули (11) та (12) описують відповідно часове та спектральне представ-лення імпульсного сигналу і утворюють пару перетворень Фур'є. Формула (11) дає змогу здійснити пряме перетворення Фур'є і знайти комплексну спектральну густину імпульсного сигналу s(t). Символічно позначимо пряме перетворення Фур'є

так:

Ф[s(t)] = . (13)

Формула (12) дає можливість здійснити зворотне перетворення Фур'є і визна-

чити імпульсний сигнал як функцію часу, якщо задана його спектральна густина . Символічно позначимо зворотне перетворення Фур'є так:

Ф[] = s(t). (14)

Функцію називають модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію , яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументом спектральної густини.

Отже, імпульсний сигнал s(t) - це сукупність нескінченної кількості гармо-нічних складових із нескінченно малими амплітудами dA(), початковими фазами , частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:

. (15)

Для прикладу на рис. 3 зображено спектральну густину одинокого імпульсу прямокутної форми.

Рис. 3. Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу.