Решение практических задач

П р и м е р 1. Вычислить , если S ограничена линиями: у = х, , х = 4. Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования.

Решение. Прежде всего, на чертеже надо представить область S. Определимся: внутреннее интегрирование проводить по переменной у, а внутреннее – по переменной х.

Найдем пределы интегрирования. Область S спроектируем на ось Ох. Получим отрезок [0, 4]. Этим определяются нижний и верхний пределы изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на оси Ох выберем произвольную точку х ∈ (0, 4), через ко-

торую проведена прямая параллельная оси Оу и на ней рассмотрен отрезок KL, содержащийся в области S. Точка К является точкой входа в область S и лежит на прямой точка L является точкой выхода из области S и лежит на прямой у = х.

Таким образом, область S ограничена снизу прямой , сверху прямой у = х. Следовательно, переменная у изменяется в пределах

.

Тогда получаем:

.

Вычисление следует начинать с внутреннего интеграла

в котором величина х должна рассматриваться как постоянная.

Вычисляем теперь внешний интеграл.

Вычислим этот же двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить по переменной х, а внешнее – по переменной у.

Из рисунка видно, что левая часть контура области S – одна линия у = х, а его правая часть состоит из двух линий ОВ и ВС определяемых разными уравнениями

(ОВ) , (ВС) х = 4.

В этом случае область S следует разбить на части так, чтобы каждая из них справа ограничивалась тоже одной линией, иначе говоря, линией, определяемой одним аналитическим выражением. Такими частями будут S₁ –∆OLB и S₂ – ∆LВС. S₁ + S₂ = S.

Интеграл представляется как сумма интегралов

.

Так как теперь внутренние интегралы будут вычисляться по переменной х, то уравнения линий, ограничивающих каждую из областей S₁ и S₂ должны быть решены относительно этой переменной S₁ ограничена линиями: х = у, х = 2у, у = 2. Точка В имеет координаты (2; 4).

Область S₂ ограничена линиями: у = 2, х = у, х = 4.

Спроектировав каждую из областей интегрирования S₁ и S₂ на ось Оу получим пределы внешних интегралов: в первом интеграле у₁ = 0 и из у₂ = 2; во втором интеграле – у₁ = 2 и из у₂ = 4. Выберем на отрезке [0; 2] произвольную точку у и проведем через нее прямую, параллельную оси Ох.

Нетрудно видеть, что в области S₁ переменная х изменяется от значения х₁ = у на левой части контура (т. е. на OL), до ее значения х₂ = 2∙у на его правой части (т. е. на ОВ).

Таким образом, при интегрировании области S₁ во внутреннем интеграле пределами будут у и 2∙у. При вычислении внутреннего интеграла переменную у необходимо считать величиной постоянной:

При интегрировании области S₂ во внешнем интеграле переменная у изменяется на отрезке [2; 4], т. е. от 2 до 4.

Определим, в каких пределах изменяется переменная х внутреннего интеграла. Для этого возьмем на интервале (2; 4) произвольную точку, проведем через нее прямую, параллельную оси Ох. Нетрудно видеть, что на левой части LC контура области S₂ х имеет значение х₁ = 4. Таким образом, в области S₂ пределами внутреннего интеграла по переменной х будут у и 4.

Искомый интеграл равен сумме

Поскольку подынтегральная функция х³ + у³ непрерывна, то результаты вычислений, как и следовало ожидать, совпали: они не зависят от порядка интегрирования. Из этого примера видно, что выбор порядка интегрирования не безразличен. Выбрав рационально порядок интегрирования можно сократить вычисления.

П р и м е р 2. Вычислить объем тела z = 3x² + y²; y = 2; х = 1; z = 0; у = 0; х = 0.

Решение. Найдем пределы интегрирования. Так как при z = 0 х = 0, значит 0 ≤ x ≤ 1. Тогда у изменяется от 0 до 2 (по условию задачи). Подставим найденные значения в формулу нахождения объема и получим: