3. Методы и примеры расчетов размерных цепей

Для проведения размерного анализа, кроме размерной схемы, составляют уравнение размерной цепи (вытекающее из условия замкнутости). Это уравнение в общем случае имеет следующий вид:

,

где А₁, A₂,…,A_m+n – номинальные значения всех звеньев размерной цепи;

, , ,…, – коэффициенты, характеризующие расположение звеньев по величине и направлению или передаточные отношения.

Передаточные отношения показывают степень влияния размера и отклонения составлявшего звена на размер, а также отклонение замыкающего звена. В размерных цепях с параллельными звеньями (линейные цепи)

.

Для цепей с непараллельными звеньями передаточные отношения изменяются в пределах: – для увеличивающих составляющих звеньев; – для уменьшающих составляющих звеньев. При решении линейных размерных цепей коэффициенты обычно опускаются.

При решении прямой и обратной задач размерного анализа расчёты размерных цепей выполняют:

методом максимума–минимума, при котором учитывают только предельные отклонения составляющих звеньев. Метод обеспечивает полную взаимозаменяемость изделий, он оказывается экономически целесообразным для цепей с небольшим количеством звеньев (n = 3…5), составленных из размеров пониженной точности (с большими полями допусков);

теоретико-вероятностным методом, при котором учитываются законы рассеивания размеров деталей и случайный характер их сочетания при сборке.

Пример. По расчётам проф. А.А.Бородачёва при равной вероятности получения составляющих звеньев с размерами, соответствующими любым точкам полей их допусков, вероятность наихудших сочетаний размеров (всех наибольших или всех наименьших) у девятизначной размерной цепи составляет (Р = 0,0000000000002). Это значит, что если ежедневно выпускать по миллиону комплектов изделий, то крайние сочетания размеров, рассчитанных методом максимума–минимума, будут встречаться в среднем один раз в 10…15 тысяч лет!

Теоретико-вероятностным методом следует пользоваться при расчёте многозвенных размерных цепей, составленных из размеров с ограниченными допусками. Он позволяет в два и более раза увеличить поле допусков размеров деталей, что снижает стоимость их изготовления и удешевляет изделие в целом.

Пример. Чертёж детали изображен на рис. 31,а. При обработке по методу автоматического получения размеров заготовку устанавливают в патрон по двойной направляющей Б и упорной У базам (см. рис. 31,б). Размер заготовки соответствует длине детали. При обработке снимают припуск на длине А₂, при этом конструкторский размер должен получаться автоматически.

Определить номинальное значение и предельные отклонения для технологического размера А₂. Составим трёхзвенную размерную цепь А цепь (см. рис. 31,в). Размер, подлежащий выполнению, включим в неё в качестве замыкающего, т.е. . Из выражения следует мм. Допуск откуда . Допуск отрицательной величиной быть не может. Примем , тогда . Далее определим предельные значения размера А

мм;

мм.

Из уравнений имеем .

Заметим, что технологический размер А₂ получился с односторонним предельным отклонением (+0,1); с полем допуска, направленным в "тело" детали, что удобно при настройке станка и в работе.

Пример. Корпусная деталь шпинделя внутришлифовального станка и производная размерная цепь показаны на рис. 28. Отмечалось, что для правильной работы узла необходимо строго соблюдать размер В_ – (равный A₂). Детали изготавливают в условиях серийного производства. При поочередной расточке на токарном станке гнёзд под подшипники, торцы заготовки используются в качестве проверочных технологических баз (от них определяют глубину расточки – размеры В₁ и В₃). Допустим, что по чертежу , и мм. Требуется рассчитать длину заготовки, размер В₂, и установить на него технологический допуск.

Из основного уравнения линейной размерной цепи

мм.

Из условия

Предельные значения замыкающего размера

Из этих выражений

Таким образом, длина заготовки – размер .

Для удобства настройки станка и увеличения продолжительности его работы без подналадки, на технологическом эскизе поставим размер .

На технологических размерах рекомендуется (принято) ставить односторонние предельные отклонения: для валов – в минус, для отверстий – в плюс, всегда направляя поле допуска в "тело" детали. На размеры между базой и осью отверстия или между осями отверстий проставляют двусторонние предельные отклонения: плюс - минус, обычно симметричные относительно номинального значения размера. В неявных случаях отверстия от валов следует различать по инструменту, с помощью которого может быть определён (проконтролирован) размер (например, шаблон-скоба или шаблон-пробка; штангенциркуль или штангенглубиномер и т.п.).

Пример. На рис. 32,а показано, что к корпусу 1 станка присоединена коробка подач 2. Кинематическая связь осуществляется при помощи цилиндрических зубчатых колёс с осями О₁ и O₂. Положение коробки подач относительно корпуса фиксируется контрольными штифтами 3. Требуется рассчитать плоскую размерную цепь, определяющую межцентровое расстояние.

В плоской размерной цепи каждое из звеньев, расположенных под углом к выбранному направлению, можно заменить его проекцией на это направление.

Поэтому любую размерною цепь, имеющую одно или несколько звеньев, расположенных под углом к выбранному направлению, можно привести к размерной цепи с параллельно расположенными звеньями. Величина замыкающего звена такой цепи равна алгебраической сумме параллельных звеньев и проекций всех звеньев, расположенных под углом к выбранному направлению.

Составим схему плоской размерной цепи (см.рис.32,б).Спроектируем составляющие звенья на направление замыкающего звена А_ (межцентрового расстояния О₁О₂), пользуясь правилом обхода по контуру (излагается в курсе ВСТИ), определяем, что увеличивающими являются звенья А₂ и А₃ остальные звенья – уменьшающими. Уравнение для этой размерной цепи:

.

Допустим, что A₁ = 60 мм; A₂ = 73,8 мм; А₃ = 111,86 мм;

А₄ = 21 мм и  = 45°30' . Тогда номинальный размер заминающего звена

Коэффициенты, характеризующие расположение звеньев по величине и направлению, т.е. передаточные отношения для данной плоской размерной цепи:

Далее определим допуски составляющих размеров по способу назначения равных допусков, т.е. . Предельные отклонения (ГОСТ 1643-81) исходного звена ; , следовательно .

С учётом значения

мм.

При симметричном расположении предельных отклонений

что приемлемо с точки зрения экономически рационального процесса обработки.

При решении этой же задачи теоретико-вероятностным способом

где t – коэффициент риска. При риске получить брак ,  – коэффициент относительного рассеивания размеров, который для рассеивания размеров, следующих нормальному закону рассеивания Гаусса, имеет значение .

Заметим, что при решении пятизвенной размерной цепи теоретико-вероятностным методом, допуск размеров всех составляющих звеньев удалось увеличить вдвое. Это позволит снизить себестоимость сборочной единицы и повысить производительность труда.

Пример. Размерная цепь приведена на рис. 33,а, при помощи которой достигается требуемая точность зацепления двух зубчатых колёс, из которых одно расположено в фартуке, второе – в салазках станка. Как и в предыдущем примере, цепь имеет ряд звеньев, расположенных под углом к выбранному направлению (на рис. 33,а линия, проходящая через оси зубчатых колёс). На рис. 33,б показано её приведение к плоской цепи с параллельными звеньями (направление обхода принято против хода часовой стрелки). В качестве замыкающего размера служит зазор А_ между радиусами делительных окружностей А₁ и A₇.

Уравнение размерной цепи имеет следующий вид:

или

Дальнейшее решение этой размерной цепи аналогично решению, разобранному в предыдущем примере.

В ряде случаев бывает удобно решать задачу по двум координатным осям. В таких случаях в размерные цепи по каждой из координатных осей включают проекции звеньев, расположенных к ним под углами, т.е. пользуются равенствами

где и – проекции звеньев A_i на координатные оси x и y; – угол, под которым звено A_i расположено к оси x.