Завдання 2 Відстань від точки до площини. Паралельність площин

(приклад завдання рис. 3)

Дано: координати точок А,В,С і D (табл. 7).

Визначити:

• відстань d₀ від точки D до площини [АВС];

• площину , паралельну площині [АВС] і віддалену від неї на відстань ;

• видимість перпендикуляра d і площини відносно площини , обмеженою трикутником [ABC].

Методичні поради до виконання

• Площину [АВС] і точку D побудувати за координатами точок, наведеними в таблиці 7.

• Щоб визначити відстань від точки до площини, необхідно з точки D опустити перпендикуляр L, на площину [ABC], використовуючи умову перпендикулярності цих геометричних образів, далі визначаємо точку їх зустрічі К і для цього, уводимо допоміжну січну площину , яка повинна бути проекціювальною.

• Справжню відстань від точки до площини d₀ = [D₀K₀] визначити методом прямокутного трикутника.

• Паралельну площину задати двома перетинаючимися прямими b і a, які проходять через точку L, що розташована посередині відрізка прямої [DK], для цього використовуємо умову паралельності двох площин. Середину відрізка прямої [DK], визначаємо спочатку на справжній величині (діленням її навпіл) та методом протилежного проекціювання переносимо на горизонтальну і фронтальну проекції перпендикуляра.

• Видимість геометричних образів на кресленику визначається способом конкуруючих точок (у прикладі завдання – точки N і 3). При оформленні кресленика необхідно вважати, що площина обмежена трикутником [ABC], площина – двома проміннями a і b, що виходять з точки L.

Завдання 3 Перетин площин

(приклад завдання рис. 4)

Дано: координати точок А, B і С (табл. 8).

Визначити:

• площину , перпендикулярну до сторони [AC] площини [ABC] та яка проходить через точку В;

• лінію перетину площин і ;

• взаємну видимість ділянок площин і .

Методичні поради до виконання

• Площини [АВС] і [DEF] побудувати за координатами точок згідно варіанта завдання (табл. 8).

• Лінію перетину визначити за допомогою площин посередників. У прикладі за такі площини прийнято фронтально-проекціювальні площини Q₂ i P₂, які проходять через фронтальні проекції сторін |АС| і |ВС| площини [АВС], а в перетині з площиною [DFC] утворюють сліди. Таким чином, задача зводить на визначення горизонтальних проекцій слідів допоміжних проекціювальних площин, які в перетині з горизонтальною проекцією сторони через яку вони проходять, визначають шукані точки лінії перетину площин К і М.

Рис. 3. Приклад завдання №2 – "Комплексний кресленик площини"

• Взаємну видимість ділянок площин визначити способом конкуруючих точок (у прикладі завдання фронтально – конкуруючі точки 6–7 і 4–8).

Таблиця 8

Багатоваріантне завдання на розрахунково-графічну роботу № 3

Варіант	Координати точки (x, y, z), мм
	А	В	С	D	E	F
1	20; 10; 20	85; 80; 90	135; 50; 30	70; 85; 0	0; 35; 90	120; 20; 60
2	115; 20; 10	50; 90; 80	0; 30; 50	65; 0; 85	135; 90; 35	15; 60; 20
3	115; 10; 20	50; 80; 90	0; 50; 30	65; 85; 0	135; 35; 90	15; 20; 60
4	20; 20; 10	85; 90; 80	135; 30; 50	70; 0; 85	0; 90; 35	120; 60; 20
5	120; 20; 30	50; 90; 100	0; 35; 70	70; 5; 105	135; 80; 50	15; 80; 20
6	15; 30; 20	85; 100; 90	135; 70; 35	65; 105; 5	0; 50; 80	120; 20; 80
7	120; 30; 20	50; 100; 90	0; 70; 35	70; 105; 5	135; 50; 80	15; 20; 80
8	15; 20; 30	85; 90; 100	135; 35; 70	65; 5; 105	0; 80; 50	120; 80; 20
9	120; 20; 80	50; 90; 10	0; 20; 45	115; 0; 5	70; 90; 105	15; 65; 90
10	0; 80; 20	70; 10; 90	120; 45; 20	5; 5; 0	50; 105; 90	105; 90; 65
11	0; 20; 80	70; 90; 10	120; 20; 45	5; 0; 5	50; 90; 105	105; 65; 90
112	120; 80; 20	50; 10; 90	0; 45; 20	115; 5; 0	70; 105; 90	15; 90; 65
13	115; 80; 30	50; 10; 100	0; 65; 65	65; 90; 100	130; 0; 0	15; 35; 20
14	15; 30; 80	80; 100; 10	130; 65; 65	65; 100; 90	0; 0; 0	115; 20; 35
15	15; 80; 30	80; 10; 100	130; 65; 65	65; 90; 100	0; 0; 0	115; 35; 20
16	115; 30; 80	50; 100; 10	0; 65; 65	65; 100; 90	130; 0; 0	15; 20; 35
17	150; 25; 50	70; 95; 90	0; 0; 0	10; 40; 85	150; 90; 35	110; 10; 10
18	0; 50; 25	80; 90; 95	150; 0; 0	140; 85; 40	0; 35; 90	40; 10; 10
19	0; 25; 50	80; 95; 90	150; 0; 0	140; 40; 85	0; 90; 35	40; 10; 10
20	150; 50; 25	70; 90; 95	0; 0; 0	10; 85; 40	150; 35; 90	110; 10; 10
21	115; 0; 90	50; 70; 25	0; 40; 85	70; 70; 110	135; 25; 35	20; 0; 0
22	20; 90; 0	85; 25; 70	135; 85; 40	65; 110; 70	0; 35; 25	115; 0; 0
23	115; 90; 0	50; 25; 70	0; 85; 40	70; 110; 70	135; 35; 25	20; 0; 0
24	20; 0; 90	85; 70; 25	135; 40; 85	65; 70; 110	0; 25; 35	115; 0; 0
25	120; 10; 20	45; 85; 90	0; 40; 30	70; 85; 0	130; 25; 90	15; 0; 40
26	10; 20; 10	85; 90; 85	130; 30; 40	60; 0; 85	0; 90; 25	115; 40; 0
27	10; 10; 20	85; 85; 90	130; 40; 30	60; 85; 0	0; 25; 90	115; 0; 40
28	120; 20; 10	45; 90; 85	0; 30; 40	70; 0; 85	130; 90; 25	15; 40; 0
29	140; 80; 95	70; 80; 100	0; 0; 0	120; 0; 0	50; 0; 100	0; 90; 35
30	0; 100; 80	70; 100; 80	140; 0; 0	20; 0; 0	90; 100; 0	140; 35; 90

Рис. 4. Приклад завдання №3–- "Перетин площин"

Завдання 4

Способи перетворення проекцій

001. Спосіб заміни площин проекцій.

величина двогранного кута

(приклад завдання рис. 5)

Дано: координати точок A, B, C, D (табл. 9).

Визначити:

• багатогранник [ABCD];

• відстань NK=d₀ між двома ребрами багатогранника, що перетинаються та її проекції – методом заміни площин проекцій;

• величину кута між суміжними гранями багатогранника.

Методичні поради до виконання

• Багатогранник [ABCD] побудувати за координатами точок згідно варіанту завдання. Видимість ребер визначити за допомогою конкуруючих точок.

• Для визначення кута між суміжними гранями, комплексне креслення перетворюють таким чином, щоб грані зайняли проекціювальне положення; спільне ребро для суміжних граней повинно зайняти, також, проекціювальне положення. Тому, визначення кута здійснюється одночасно з визначенням відстані між ребрами, що перетинаються. У прикладі показано визначення кута між гранями [АВС] і [АСD].

002. Спосіб плоско паралельного переміщення.

Відстань від точки до площини.

Кут нахилу площини до площин проекцій

(приклад завдання рис. 6)

Дано: координати точок А, B, C, D (табл. 9).

Визначити:

• площину [ABC] і точку D;

• способом плоскопаралельного переміщення визначити відстань від точки D до площини. заданої трикутником [ABC];

• кут нахилу площини [ABC] до горизонтальної (варіанти 1–15) чи фронтальної (варіанти 16–30) площини проекцій.

Методичні поради до виконання

• Площину [ABC] і точку D побудувати за координатами точок згідно з варіантом завдання;

• Для визначення дійсної величини грані за вісь обертання прийняти горизонталь чи фронталь вибраної грані. Доцільно вісь обертання побудувати зовні проекції багатогранника – це дозволить винести шукану справжню величину на вільне місце кресленика та уникнути накладення вихідних даних і ліній побудов. Якщо одне з ребер багатогранника є головною лінією, можна використовувати його як вісь обертання (у прикладі визначена величина грані |BCD| методом обертання її навколо горизонталі h, проведеної через вершину D).

• Для визначення відстані від вершини до грані способом плоско-паралельного переміщення перетворити вибрану грань піраміди в проекціювальну, при цьому одна з головних ліній також буде проекціювальною.

• Оскільки при розв’язуванні першої задачі головні лінії вже були побудовані, раціонально перетворювати ту ж грань (на прикладі завдання визначено відстань [А₀К₀] від вершини А до грані |BCD|).

• Під час розв`язування цієї задачі необхідно враховувати, що площина до якої визначена відстань, не обмежена трикутником і може бути продовжена до перетину з перпендикуляром, опущеним до неї з протилежної вершини піраміди.

Таблиця 9