2.2. Метод комплексных амплитуд. Уравнения Максвелла в комплексной форме. Однородные волновые уравнения для векторов e и h.
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими.
Пусть
вектор поля
изменяются по косинусоидальному закону,
причем фазы всех трех прямоугольных
проекций одинаковы, т.е. волна линейно
поляризована, тогда выражение для
запишется
,
где
– единичные вектора-орты по направлениям
x,
y,
z,
соответственно;
,
,
– амплитуды;
– фаза; – циклическая
или круговая частота гармонических
колебаний. Амплитуды и фаза не зависят
от времени, а только от координат x,
y,
z.
Обозначим
Комплексной
амплитудой вектора
назовем вектор
.
Тогда
мгновенное значение вектора
определится по формуле
.
Аналогично можно записать комплексную амплитуду напряженности магнитного поля
и мгновенное значение
.
Рассмотрим первое уравнение Максвелла
.
Подставив вместо
величину
,
реальная часть которой равна
,
а вместо
величину
,
то получим
.
После
сокращения на
получается первое уравнение Максвелла
в комплексной форме записи (для комплексных
амплитуд)
или
,
где
–
комплексная д/э проницаемость,
здесь
–тангенс угла д/э потерь.
Аналогично получаются и остальные уравнения ЭМП в комплексной форме записи
,
,
.
Решив
эти уравнения и определив комплексные
амплитуды
и
,
легко найти мгновенные значения векторов
поля из соотношений
,
.
Преимущество
комплексной формы записи основных
уравнений поля заключается в том, что
время
исключается из этих уравнений, что
значительно упрощает решение задач
электродинамики.
В дальнейшем для упрощения записи при переходе к мгновенным значениям комплексные амплитуды будут обозначаться как
а без перехода к мгновенным значениям
Уравнения Максвелла в комплексной форме записи в декартовой системе координат запишутся
,
,
,
.
Однородные волновые уравнения имеют вид (уравнения Гельмгольца)
,
,
где
– коэффициентом распространения в
среде, 1/м.
В
волновых уравнениях оператор
называется лапласианом. Лапласиан от
скалярной функции
в цилиндрической системе координат
запишется:
.
Лапласиан от вектора является вектор. Его составляющими в декартовой системе координат является лапласиан от соответствующих компонент дифференцируемого вектора:
.
В декартовой системе координат векторные волновые уравнения распадаются на шесть независимых скалярных волновых уравнений:
.
Все эти уравнения имеют совершенно одинаковую форму. Поэтому для нахождения составляющих ЭМП достаточно решить лишь одно уравнение в частных производных, например:
Остальные
составляющие Е
и Н
определяются из
непосредственно из уравнений Максвелла.
2.3. Эмп в диэлектрике (а )
Идеальный
проводник – это среда с бесконечно
большой удельной проводимостью
,
а идеальный проводник – это среда, не
обладающая проводимостью
.
В идеальном проводнике может существовать
только ток проводимости:
,
а в идеальном диэлектрике – только ток
смещения:
.
В реальных средах имеется как ток
проводимости, так и ток смещения. Принято
среду считать проводящей, когда:
.
Диэлектрик характеризуется неравенством:
.
Рассмотрим распространение гармонической электромагнитной энергии в идеальном диэлектрике ( = 0). Уравнения Максвелла для гармонических колебаний примут вид:
Волновые уравнения о декартовой системе координат получаются:
;
здесь коэффициент
распространения:
.
Рассмотрим
распространение плоской э/м волны в
однородном диэлектрике. Э/м волна
называется плоской, когда все величины,
характеризующие интенсивность э/м
процесса, зависят только от одной
декартовой координаты. Пусть волновой
процесс распространяется вдоль оси z.
Тогда поперечными по отношению к
направлению распространения являются
координаты x,
y.
При этом
.
Решим
уравнение Гемгольца для вектора
.
Примем, что
,
а
.
Следовательно
,
а
.
Тогда
волновые уравнения для компонент
и
запишутся
;
.
Решим
волновое уравнение относительно
.
Общим решением этого уравнения является
суперпозиция двух частных решений
,
где
– прямая волна;
– обратная волна.
Коэффициент распространения можно записать
,
где
– называется коэффициентом затухания
волны в среде;
–
называется коэффициентом фазы волны в
среде.
Для
идеального диэлектрика
.
Здесь
называют волновым числом. Таким образом
.
Мгновенное значение напряженности электрического поля запишется:
.
Первое слагаемое здесь называется прямой волной, а второе - обратной.
Если
и
,
то получается стоячая волна (см. рис.
2.1)
.
Рис. 2.1. Стоячая волна
Пусть обратная волна отсутствует, тогда изменение бегущей волны определяется по формуле:
.
На рис. 2.2 представлено распределение бегущей волны Ех для двух моментов времени t1 и t2 = t1 + t.
Рис 2.2. Распределение бегущей волны Ех в моменты времени t1 и t2
Скорость перемещения фронта бегущей волны называется фазовой скоростью и определяется из условия равенства фаз двух косинусоид (см. рис. 2.2):
,
Откуда
.
Тогда
,
поскольку
,
тогда получаем:
,
где
– скорость электромагнитной волны в
вакууме (скорость света в вакууме), м/с.
Расстояние при прохождении которого волна изменяет стою фазу на 2, называется длиной волны и определяется из равенства:
.
Тогда
.
Напряженность
магнитного поля
определяется из уравнения Максвелла
откуда
.
Здесь
– называется волновым сопротивлением.
Для вакуума = = 1; ZВ = 376,8 Ом
В общем случае волновое сопротивление комплексная величина.