3.4.2. Определение сопротивления и индуктивности цепи симметричного кабеля
Для
определения мощности энергии, поглощаемой
проводами, используется вектор Пойтинга.
Энергия, распространяющаяся вдоль
линии, характеризуется компонентами
электромагнитного поля
и
,
образующими с продольной составляющей
вектора Пойтинга
(см. рис. 3.15,а). Энергия, поглощаемая
токопроводящими жилами (см. рис. 3.15,б),
характеризуется радиальной составляющей
вектора Пойтинга
,
обусловленной продольной составляющей
электрического поля
и тангенциальной составляющей магнитного
поля
.
Соответственно мощность потока энергии поглощения для единицы длины цилиндрической токопроводящей жилы так выразится с помощью теоремы Умова-Пойтинга:
. (3)
С другой
стороны энергия поглощения связана с
током
и внутренним сопротивлением
формулой
. (4)
Таким образом, полное внутреннее сопротивление токопроводящей жилы определится из выражения
, (5)
где
– активное сопротивление жилы;
– внутренняя индуктивность;
– продольная составляющая электрического
поля на поверхности жилы;
– сопряженное значение тангенциальной
составляющей магнитного поля на
поверхности жилы;
– сопряженное значение тока.
Рис. 3.15. Составляющие вектора Пойтинга. а – процесс передачи; б – процесс поглощения
Для
нахождения величин
и
необходимо определить значение
и
.
Воспользуемся для этого основными
уравнениями электромагнитного поля –
уравнения Максвелла, которые для
синусоидального гармонически изменяющегося
поля имеют вид
, (6)
. (7)
Отдельно для токопроводящих жил и изоляции уравнения Максвелла могут быть представлены в следующем виде:
для токопроводящих жил
,
; (8)
для изоляции
,
. (9)
Для токопроводящих жил уравнения Максвелла в цилиндрической системе координат имеют вид
. (10)
Направление
движения тока по проводникам совпадает
с осью
.
По этой причине внутри проводника
компоненты электрического поля
и
равны нулю. В связи с этим компоненты
магнитного поля могут лежать лишь в
плоскости нормальной оси
.
Поэтому
=0.
Поскольку длина проводника много больше
поперечных размеров, то градиентами
компонент поля в направлении оси
пренебрегаем. Таким образом, система
уравнений Максвелла, описывающая процесс
распространения электромагнитной
энергии внутри проводников, сводится
к виду
(11)
(12)
(13)
Подставив
первое и второе уравнение в третье и
сделав преобразование, получим волновое
уравнение для компоненты
, (14)
где
– коэффициент вихревых токов.
При определении сопротивления R и индуктивности L симметричных кабелей необходимо иметь в виду два случая:
1. Низкочастотные кабели. В этом случае отсутствует эффект близости, нет взаимодействия электромагнитных полей между токопроводящими жилами, поле не искажается и для каждой жилы имеет осевую симметрию.
2. Высокочастотные кабели. В этом случае существует взаимодействие электромагнитных полей соседних токопроводящих жил, структура поля искажается и действует эффект близости
Более подробно рассмотрим низкочастотный режим передачи. При расчете активного индуктивного сопротивления цепей низкочастотных кабелей достаточно определить лишь значения R и L для одной жилы.
При
низкочастотном режиме передачи в силу
цилиндрической симметрии электромагнитное
поле не будет зависеть от координаты
.
Тогда волновое уравнение преобразуется
к виду
. (15)
Решением этого уравнения является
, (16)
где
и
– постоянные интегрирования;
и
– модифицированные функции Бесселя
нулевого порядке первого и второго рода
соответственно.
Поскольку
при
,
и
величина конечная, то
должна быть равна нулю. С учетом этого
получим
. (17)
Тогда
, (18)
где
– модифицированная функция Бесселя
первого рода и первого порядка.
Для
определения постоянной интегрирования
воспользуемся законом полного тока,
согласно которому тангенциальная
составляющая магнитного поля при
определится по формуле
. (19)
Приравнивая
правые части уравнений (16) и (17) при
получим
.
(20)
С учетом
выражения (10) формулы для
и
примут вид:
, (21)
. (22)
Для
определения сопротивления и индуктивности
одиночного проводника с учетом эффекта
близости уравнения (21) и (22) подставим в
выражение (5) при условии, что
.
(23)
Здесь:
и
– сопротивление и индуктивность одной
жилы.
Обычно
для расчета полного сопротивления жилы
пользуются специально вычисленными
значениями бесселевых функций и их
отношений, представленных в виде
коэффициентов
и
.
В этом случае сопротивление одного проводника определится по формуле
, (24)
а индуктивность
, (25)
где
– абсолютная магнитная проницаемость.
При
мм
и
МГц
.
Для
низкочастотного симметричного кабеля
сопротивление цепи
,
а к удвоенному значению внутренней
индуктивности необходимо добавлять
еще значение внешней индуктивности
(межпроводниковой индутивности)
. (26)
Межпроводниковая индуктивность определяется по формуле
, (27)
где
– межпроводниковое потокосцепление.
, (28)
где
– межпроводниковый магнитный поток,
обусловленный током от одного проводника.
. (29)
Тогда внешняя индуктивность симметричной цепи на единицу длины определится по формуле
. (30)
Таким образом, индуктивность симметричной цепи определится
. (31)
Расчет сопротивления и индуктивности цепи высокочастотного симметричного кабеля представляет более сложную задачу.
При передаче высокочастотных сигналов по симметричной цепи сказывается взаимодействие электромагнитных полей соседних жил, поле искажается и необходимо учитывать эффект близости. В этом случае отсутствует осевая симметрия поля. Тогда процесс распространения электромагнитной волны в проводниках симметричной цепи описывается волновым уравнением (14). Кроме того, дополнительно необходимо рассматривать процесс распространения электромагнитной волны в диэлектрической среде. Волновое уравнение для диэлектрика имеет вид
. (32)
Процедура
определения сопротивления и индуктивности
при высокочастотном режиме (с учетом
эффекта близости) будет аналогична той,
что и при низкочастотном режиме. Решаются
волновые уравнения (14) и (32). Определяются
аналитические выражения для компонент
электромагнитного поля
и
,
которые подставляются в уравнение (5) и
после соответствующих преобразований
выражение для сопротивления с учетом
поверхностного эффекта и эффекта
близости будет иметь вид
,
(33)
где a
– расстояние между осями изолированных
жил (см. рис. 3.12); p
– коэффициент, зависящий от типа скрутки,
при парной скрутке,
при скрутке в звездную четверку;
;
–
коэффициент вихревых токов;
–
круговая частота; f
– частота передаваемого тока;
–
абсолютная магнитная проницаемость,
Гн/м; – относительная
магнитная проницаемость (для немагнитных
материалов
,
для железа
);
– магнитная постоянная, Гн/м;
–
удельная электропроводность материала
ТПЖ;
–
удельное электрическое сопротивление
материала ТПЖ; значения функций
,
,
– табулированные значения бесселевых
функций. В уравнении (33):
– учитывает увеличение сопротивления
за счет поверхностного эффекта;
–
учитывает увеличение сопротивления за
счет эффекта близости.
В кабелях связи, как правило, имеется несколько четверок. Токопроводящие жилы соседних четверок, внося дополнительные потери на вихревые токи, увеличивают сопротивление цепи. Кроме того, сопротивление возрастает за счет потерь в металлической оболочке кабеля. Для определения дополнительного сопротивления, эквивалентного этим потерям, пользуются результатами экспериментальных исследований. Эмпирическая формула, учитывающая увеличение сопротивление за счет наличия других металлических элементов конструкции симметричного кабеля, имеет вид
, (34)
где
– экспериментально определенное
дополнительное сопротивление при
.
Выражение для индуктивности (31) с учетом эффекта близости остается неизменным.
На рис. 3.16 приведены зависимости активного сопротивления и индуктивности симметричного кабеля от частоты. Рост сопротивления с увеличением частоты как было сказано выше
Рис 3.16. Зависимость сопротивления и индуктивности от частоты
На рис.
3.17 представлена зависимость активного
сопротивления высокочастотного
симметричного кабеля от диаметра жилы.
Из рисунка видно, что при
мм
сопротивление токопроводящей жилы
симметричного кабеля имеет минимальное
значение. По этой причине высокочастотные
симметричные кабели изготавливают с
диаметром жилы 1,2 мм.
Рис 3.17. Зависимость сопротивления симметричного кабеля от диаметра ТПЖ