Метод линейного программирования

 

Рассмотрим типичную задачу планирования производства. По традиции, здесь снова можно было бы описать некую забавную ситуацию (как, например, это оригинально сделано в увлекательной книге В. Португала «Беседы об АСУ»). Однако мы не будем конкретизировать, кто и что именно собирается производить.

Предположим, речь идет о производстве двух типов изделий, K₁ и K₂. Для производства первого изделия требуется 40 кг металла, 1 лист пластика и 2 кубометра древесины. А для производства второго— 30 кг металла, 4 листа пластика и 4 кубометра древесины. Все три вида сырья имеются у нас в ограниченном количестве: металла — 750 кг, пластика — 64 листа, древесины — 70 кубометров.

Изготовленные и реализованные изделия дают прибыль K₁ — 240 р., K₂ — 320 р.

Возникает естественный вопрос: с учетом ограничений по сырью — сколько и каких изделий надо произвести, чтобы прибыль была максимальной?

Внесем всю исходную информацию по данной задаче в специальную таблицу (табл.7).

 

Таблица 7

Изделие	Расход на изделие			Прибыль, Р
	металл, кг	пластик, лист	древесина, м3
K1	40	1	2	240
K2	30	4	4	320
Ограничение по сырью	750	64	70

 

Итак, искомыми являются две величины: X₁ — количество производимых изделий K₁, и х₂ — количество производимых изделий K ₂. Естественно, это должны быть целые неотрицательные величины.

Рассмотрим один из возможных вариантов производственного плана. Например, вариант X₁ = 10, X₂ = 10. В этом случае расходы сырья окажутся следующими:

а) металл 40 · 10 + 30 · 10 = 700 < 750,

б) пластик 1 · 10 + 4 · 10 = 50 < 64,

в) древесина 2 · 10 + 4 · 10 = 60 < 70.

А суммарная прибыль равна 240 · 10 + 320 · 10 = = 5600 (p.)

Легко заметить, что это не лучшее решение задачи. Как же найти оптимальный вариант?

Сейчас мы решим данную оптимизационную задачу, используя идеи линейного программирования — одного из наиболее популярных и эффективных методов современной экономической кибернетики.

Но прежде, используя данные табл. 7, построим математическую модель задачи:

 

40x₁ + 30x₂ ≤ 750,

  x₁ + 4x₂ ≤ 64,                              (3)

2x₁ + 4x₂ ≤ 70,

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

 

Необходимо найти такие целочисленные значения х₁ и х₂, которые бы удовлетворяли (3) и максимизировали бы функцию

F = 240x₁ + 320х₂.               (4)

Сократив общие множители и преобразуя соотношения (3), имеем

,                   (5)

,                   (6)

,               (7)

x₁ ≥ 0,     x₂ ≥ 0.                   (8)

 

А теперь рассмотрим графическую интерпретацию данной задачи (уже принявшей строгий математический вид). Для этого обратимся к прямоугольной системе координат, на которой изображены прямые:

а) ,

б) ,

в) .

 

Условие (8) сразу указывает нам, что речь идет лишь о первой четверти этой системы координат (рис. 12).

Нетрудно догадаться, что неравенству (5) удовлетворяют координаты x₁ и x₂ всех тех точек плоскости, которые лежат под прямой (а). Аналогично для (6) —все точки под прямой (б), а для (7) — все точки под прямой (в).

Рис. 12

 

Следовательно, всей системе ограничений рассматриваемой задачи полностью удовлетворяют значения x₁ и x₂, являющиеся координатами точек, лежащих в заштрихованной на рис. 13 области. Например, в заштрихованной области лежат точки с координатами: (x₁ = 17, х₂ = 1); (x₁ = 12, х₂ = 8); (x₁ = 2, х₂ = 15) и т. д. Значит, каждая из этих пар является одним из возможных решений нашей задачи.

Однако вернемся к целевой функции. Мы ищем оптимальное значение, т. е. стремимся максимизировать величину F. Преобразуем (4) к виду

 

.

 

При F = 0 получим прямую (l₁) (см. рис. 13). Изменениям величины F соответствует параллельный перенос прямой (l₁) и, наоборот, параллельный перенос вверх прямой (l₁) соответствует увеличению значения F. Мы получаем семейство параллельных прямых (l₁), (l₂), (l₃), (l₄). Так как оптимальным является решение, соответствующее максимальному значению F, то вполне очевидно, что прямая, описывающая целевую функцию, должна быть максимально удалена от начала координат. При этом мы не имеем права выходить за заштрихованную область.

Рис. 13.

 

Вывод не вызывает сомнения. Наиболее удаленной прямой от начала координат будет (l₅). Следовательно, оптимальное решение связано с точкойM. Ее координаты определяют оптимальный план. В нашей задаче x₁ = 9, x₂ = 13.

Итак, наиболее рационально в условиях рассматривавшейся задачи произвести 9 изделий K₁ и 13 изделий K₂. При этом

 

F = 9·240 + 13·320 = 6320 (р.).

 

Возможно, кое-кому из школьников решение данной задачи на первый взгляд покажется сложным. Но это лишь на первый взгляд. Еще раз задумайтесь над идеей примененного метода, и вы безусловно догадаетесь, что при такой графической интерпретации задачи оптимальное решение (т. е. точку M) всегда следует искать именно на границе заштрихованной области.

Вполне понятно, что если бы речь шла о производстве трех изделий, то в задаче были бы три переменные x₁, x_2, x₃. Тогда мы рассматривали бы не фигуру на плоскости, а некоторое геометрическое тело в трехмерном пространстве.