7. Механические волны

Механическая волна представляет собой процесс распространения механических колебаний в пространстве. Из-за наличия упругих связей между частицами среды перемещения одной из частиц при возникновении колебаний вызывает движение соседних частиц - этот процесс распространяется в пространстве с некоторой скоростью.

Волна называется продольной , если направление перемещения частиц среды совпадает с направлением распространения волны. Если эти направления взаимно перпендикулярны, то такая волна называется поперечной. Продольные механические волны могут распространяться в любых средах (кроме вакуума), а поперечные - только в твердых телах.

7.1. Уравнение волны

Рассмотренные выше математические выражения, описывающие характер колебаний, определяют смещение как функцию одной переменной - времени. Смещение S в волне зависит уже от двух переменных - времени t и пространственной координаты х - и обладает поэтому двойной периодичностью.

Для получения уравнения волны , то есть аналитического выражения функции двух переменных S = f (t, x) , представим что, в некоторой точке пространства возникают гармонические колебания с круговой частотой  и начальной фазой, для упрощения равной нулю (см. рис.8). Смещение в точке М : S_м = A sin  t, где А - амплитуда. Поскольку частицы среды, заполняющие пространство, связаны между собой, то колебания от точки М распространяются вдоль оси х со скоростью v . Через некоторое время t они достигают точки N . Если в среде отсутсвует затухание, то смещение в этой точке имеет вид: S_N = A sin  (t - t), т.е. колебания запаздывают на время t относительно точки M . Поскольку , то заменив произвольный отрезок MN координатой х , получим уравнение волны в виде:

(23)

Учитывая, что (где Т - период), а длина волны  = v T, формулу (23) можно записать в виде:

(24) Уравнение волны (23) или (24) позволяет определить в любой момент времени t смещение любой точки, имеющей координату х.

7.2.Энергия волны, поток энергии волны, интенсивность. Вектор Умова

Волновой процесс связан с распространением энергии (Е) в пространстве. Количественной энергетической характеристикой этого процесса является поток энергии (Ф) - отношение энергии, перенесенной волной через некоторую поверхность, ко времени (t), за которое этот перенос совершается. Если перенос энергии осуществляется равномерно, то: Ф = Е / t, а для общего случая поток представляет производную от энергии по времени - Ф = d Е / d t. Единица измерения потока энергии совпадает с единицей мощности Дж/ с = Вт.

Интенсивность волны ( или плотность потока энергии ) ( I ) - отношение потока энергии к площади (S) поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. Для равномерного распределения энергии по поверхности, через которую проходит волна I = Ф / S , а в общем случае - I = dФ / dS. Измеряется интенсивность в Вт / м².

Отметим, что интенсивность является тем физическим параметром , который на первичном уровне определяет степень физиологического ощущения, возникающего под действием волнового процесса ( например, звук или свет).

Представим в виде параллелепипеда длиной l участок среды, в которой распространяется волна. Площадь грани параллелепипеда, которая перепендикулярна направлению скорости волны v, обозначим через S (см.рис.9) . Введем объемную плотность энергии колебательного движения w , представляющую количество энергии в единице объема: w = Е / V . За время t через площадку S пройдет энергия , равная произведению величины объема V = l S = v t S на объемную плотность энергии:

Е = w v t S . (25)

Разделив левую и правую части формулы (25) на время и площадь, получим выражение, связывающее интенсивность волны и скорость ее распространения. Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением ее распространения носит название вектора Умова :

. (26)

Формулу (26) можно представить в несколько ином виде. Учитывая, что энергия гармонических колебаний (см.формулу (7)) и выразив массу m через плотность вещества  и объем V, для объемной плотности энергии получим: w = . Тогда формула (26) принимает вид:

. (27)

Итак интенсивность упругой волны, определяемая вектором Умова, прямо пропорциональна скорости ее распространения, квадрату амплитуды колебаний частиц и квадрату частоты колебаний.