4.2. Колебания происходят вдоль одной прямой с разными частотами

Представим два складываемых колебания графически (см.рис 4).

При сложении гармонических колебаний, происходящих с разными частотами ₁ и ₂ ( периодами Т₁ и Т₂) результирующее колебание не будет гармоническим, а будет представлять сложное периодическое движение. Если складываются гармонические колебания с кратными частотами (например, на рис.4 ₂ = 4₁ ), то период результирующего колебания Т совпадает с периодом Т₁ слагаемого наименьшей частоты: Т = Т₁ или  = ₁ .

5. Разложение колебаний в ряд Фурье. Гармонический спектр сложных колебаний

Рассмотрение рис.4 приводит к утверждению, обратному сказанному выше и известному как теорема Фурье: любое сложное периодическое движение x(t) = x(t +T) c периодом Т можно представить в виде суммы простых составляющих гармонических колебаний (гармоник). Частоты этих гармоник кратны основной частоте  рассматриваемого периодического процесса.

Первая гармоника имеет частоту  = 2 /Т , вторая - 2 , третья - 3 и т.д.

Это утверждение можно записать в виде формулы, представляющей ряд Фурье:

(22)

Здесь А_к - амплитуды складываемых гармоник, а _к - их начальные фазы. Первая гармоника, имеющая частоту  , обладает амплитудой А₁ , и начальной фазой ₁ , вторая (с частотой 2 ) имеет амплитуду А₂ и начальную фазу ₂ и т.д.

Слагаемое А₀ в формуле (22) представляет собой постоянную величину, имеющую смысл постоянной составляющей сложного периодического процесса. На рис.5 представлена периодическая функция х(t), описывающая процессы, где колебания некоторой величины (например, пульсовые изменения кровенаполнения сосуда) происходят на фоне ее среднего постоянного значения (например, среднего уровня кровенаполнения), которое и характеризуется величиной А₀ в формуле (22) .

В записанной для общего случая формуле (22) число гармоник, входящих в состав сложного колебания , представляется бесконечно большим. При рассмотрении реальных колебательных процессов следует учесть, что вклад отдельных гармонических составляющих в анализируемое сложное колебание различен - в формулу (22) отдельные гармоники входят с разными амплитудами.

График, на котором по оси абсцисс отложены частоты гармоник, а по оси ординат - соответствующие им амплитуды, представляет собой гармонический спектр сложного колебания (см. рис.6).

Из рассмотрения рис. 6 можно сделать вывод, что гармоники, частота которых превышает  ₁₀ , имеют малую амплитуды и, следовательно, их вклад в колебание, гармонический спектр которого представлен на рисунке, незначителен. Поэтому ряд Фурье для этого случая можно считать состоит из 10 слагаемых ( к = 1,2,3,.....,10 ), а вся информация о сложном колебательном процессе заключена в полосе частот от ₁ (основная частота процесса) до ₁₀ .

6. Принципы использования гармонического анализа для обработки диагностических данных

Многочисленные процессы, обуславливающие жизнедеятельность организма, носят периодический характер (сердечные сокращения, дыхание, кровенаполнение сосудов и т.д.). Диагностические данные, позволяющие судить о работе ряда органов и функциональных систем организма, представляется в виде периодических кривых. Например, электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой зафиксированную на бумажной ленте или на экране монитора сложную периодическую зависимость от времени t биопотенциалов  ,

сопровождающих работу сердца ( см. рис.7). Механизмы генерации этих потенциалов и их распространения будут рассмотрены в других разделах курса. Здесь отметим только, что обработка данных ЭКГ может быть произведена с помощью гармонического анализа. С помощью специальных приборов - анализаторов получают гармонический спектр ЭКГ. Частота первой гармоники в этом спектре соответствует частоте сердечных сокращений у пациента. Она составляет около 1 Гц (период Т порядка 1с). Из вида реально полученных спектров следует, что гармоники ЭКГ с частотами свыше 150-400 Гц имеют пренебрежимо малую амплитуду и для анализа ЭКГ ряд Фурье (формула (22)) можно ограничить (с запасом) последней составляющей с частотой 400 Гц. Это означает, что информация об электрической деятельности сердца заключена в частотном диапазоне от 0,5 Гц ( минимально возможная частота сердечных сокращений) до 400 Гц (частота гармоники самого высокого порядка).

Полученный результат предъявляет необходимые требования к аппаратуре регистрации ЭКГ: она должна обеспечивать одинаковым образом съем, усиление и отображение электрических сигналов в указанном частотном диапазоне. Так, с одним и тем же коэффициентом усиления должны усиливаться составляющие ЭКГ-сигнала на всех частотах, представленных в его гармоническом спектре; регистрирующие устройства должны обладать одинаковой чувствительностью для этих составляющих. Только при этом условии зарегистрированная ЭКГ в точности повторяет реальную зависимость биопотенциалов, вызванных работой сердца, от времени.

Применение гармонического анализа для обработки данных о периодических физиологических процессах позволяет с помощью электронной и вычислительной техники автоматизировать диагностику заболеваний и существенно расширить ее возможности.