Раздел 3. Элементы дисперсионного и регрессионного анализа

Во многих экономических исследованиях рассматриваются ситуации, в которых различные величины находятся в некоторой зависимости одно от другой. При этом характер этой зависимости может быть различным.

Зависимость между величинами, в которой каждому значению одной переменной соответствует единственное, заданное некоторой формулой значение другой переменной, называется функциональной. Примером может служить начисление заработной платы рабочего в зависимости от выработки.

Если же одному значению переменной соответствует статистическое распределение другой переменной, то говорят о статистическом распределении между переменными. Статистическое распределение рассматривается ниже в примере.

Статистическая зависимость не позволяет оценить полностью влияние одной переменной на другую, а следовательно решить ряд экономических задач. Поэтому, с помощью статистической зависимости, строят так называемую корреляционную зависимость, где каждому значению одной переменной соответствует усредненное единственное значение другой переменной. Построение корреляционной зависимости рассматривается ниже в примере.

Если же корреляционная зависимость позволяет предположить, что зависимость между переменными можно выразить в виде некоторой формулы, то строится так называемое уравнение регрессии. Построение регрессионной зависимости также рассматривается ниже в примере.

Пример. Задана статистическая зависимость между признаками Х и У.

1. Построить корреляционное поле.

2. Найти групповые средние у по х и х по у.

3. Построить эмпирические линии регрессии.

4. Считая, что эмпирические линии регрессии можно выровнять по прямой линии, найти теоретические уравнения регрессии Х по У и У по Х.

5. Построить прямые регрессии и установить тесноту линейной связи между признаками, которые изучаются с помощью линейного коэффициента корреляции.

6. Найти прогнозное значение х, которое больше последнего значения х на единицу.

У Х	11	17	23	29	35	41
15	1	3	1				5
20		6	13	2			21
25		1	17	19	2		39
30			2	15	10	1	28
35				1	4	2	7
	1	10	33	37	16	3	п = 100

Решение. Построим корреляционное поле.

2. Находим групповые средние , т.е. средние значения признака У, вычисленные для каждого значения признака Х по формуле:.

Получаем: ;

;

;

;

.

Зависимость между значениями признака Х и групповыми средними называется корреляционной зависимостью У по Х. Её можно записать с помощью таблицы:

Х	15	20	25	30	35
	17	21,9	26,4	31,1	35,9
	5	21	39	28	7

С помощью аналогичных вычислений находятся групповые средние по формулам: .

Тогда:

; ;

;

;

; .

Корреляционная зависимость Х по У приведена в следующей таблице:

У	11	17	23	29	35	41
	15	19	23,03	27,03	30.625	33,3
	1	10	33	37	16	3

3. В прямоугольной системе координат построим все точки, соответствующие парам чисел . Частоты этих точек также нанесем на график. Соседние точки соединим отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессии У по Х. Аналогично строится эмпирическая линия регрессии Х по У.

Вид этих линий позволяет предположить наличие линейной корреляционной зависимости.

4. Уравнения, с помощью которых задается эта зависимость, называются теоретическими уравнениями регрессии Х по У и У по Х. Они имеют вид:

;

.

Параметрами этих уравнений являются следующие величины:

среднее значение признака Х;

среднее значение признака У;

коэффициент регрессии Х по У;

коэффициент регрессии У по Х..

Они вычисляются по формулам:

;

.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы:

Х					У
15	5	75	1125		11	1	11	121
20	21	420	8400		17	10	170	2890
25	39	975	24375		23	33	759	17457
30	28	840	25200		29	37	1073	31117
35	7	245	8575		35	16	560	19600
	100	2555	67675		41	3	123	5043
						100	2696	76338

Из таблицы получаем:

; ;

;

; ;

;

;

;

;

.

Найдем уравнения прямых регрессии У по Х и Х по У:

; ;

; .

Вычислим линейный коэффициент корреляции по формуле:

,

где знак перед корнем совпадает со знаками и . Так как и , то .

Значение линейного коэффициента корреляции, достаточно близкое к 1, говорит о том, что изучаемые признаки связаны достаточно тесно.

В прямоугольной системе координат построим полученные прямые регрессии.

6. Найдем прогнозное значение у для .

Получаем: .