5. Функции нескольких переменных

1. Частные производные и дифференциал функции.

   1. Найти частные производные , и функций: а); б)

   2. Найти дифференциал функции .

   3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

2. Приложения частных производных.

   1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

   2. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

1. Двойные интегралы.

   1. Изменить порядок интегрирования:

.

2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

2. Тройные интегралы.

   1. Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

   2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

3. Криволинейные интегралы.

   1. Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

   2. Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля

1. Дифференциальные операции.

   1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

4. Найти в точке ротор векторного поля

.

2. Интегралы и интегральные теоремы.

   1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

   2. Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

3. Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

8. Дифференциальные уравнения

1. Уравнения первого порядка.

   1. Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

1. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

1. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Решить задачу Коши:

а)

б) .

3. Системы линейных уравнений.

   1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .