Глава 3 отношения и функции

§1. Понятие отношения между элементами данных множеств

Определение 1. Пусть Х и Y – некоторые непустые множества, G – непустое подмножество декартова произведение XY. Тогда упорядоченная тройка  = (G, X, Y) называется (бинарным) отношением между элементами множеств Х и Y.

При этом множества G, X, Y называются соответственно графиком, областью отправления и областью прибытия отношения . Множество D() (Е()) всех первых (вторых) координат всевозможных упорядоченных пар из G называются областью определения (областью значений) отношения .

Если (а, в)G, то пишут: ав и говорят, что «объекты а и в находятся в отношении » или «при отношении  объекту а сопоставляется объект в».

Если X, Y – числовые множества, то отношение  называется числовым.

В случае, когда X=Y=M, отношение  = (G, M, M) называется (бинарным) отношением между элементами множества М.

Итак, по определению D()={xX | yY ((x,y)G)},

E()={yY | xX ((x,y)G)}.

Говорят, что задан граф отношения =(G, X, Y), если множества X и Y изображены диаграммами Венна на некоторой плоскости , а каждая пара (а; в) из G изображена «стрелкой» плоскости , началом (концом) которой является точка, изображающая объект а (в). Граф отношения  между элементами множеств X и Y является наглядным способом задания этого отношения для случая, когда X и Y – конечные множества.

В случае, когда  = (G, X, Y) – числовое отношение, графиком отношения  наряду с G называют так же и изображение множества G на координатной плоскости (Оxy), то есть множество:

Г_{M (x, y) (x, y)G}.

Пример 1. Пусть Х={а; в; с; d}, Y={+; ; ; ; *}, G ={(а; +), (а; ), (a; ), (с; ), (d; )} и  = (G, X, Y) – отношение между элементами множеств X и Y.

Так как множества X и Y конечные, то отношение  можно задать его графом. Область определения D()={а; с; d} (область значений E()={+; ; ; }) можно рассматривать как множество всех тех элементов множества X(Y), которые изображаются точками, являющимися началами (концами) стрелок построенного графа. Заметим, что при отношении  элементу а сопоставляются три элемента +,  и  из Y и элементу в не сопоставляется ни одного элемента из Y.

Пример 2. Пусть Х=Y=R, G={(x; y)R²x=y²}, =(G, X, Y)=(G, R, R) – бинарное отношение между элементами множества R. Так как  – числовое отношение, то можно говорить о графике Г_ на координатной плоскости (Oxy). График Г_ представляет собой параболу, и область определения D() (область значений E()) можно рассматривать как проекцию построенного графика на ось (Ox) ((Oy)). D()= [0; +), E() = R.

Пример 3. Пусть X =  – некоторая плоскость, Y – семейство всех прямых плоскости , G={(M, l) Ml  lY}, тогда  = (G, X, Y) – бинарное отношение между элементами множеств X и Y, называемое отношением принадлежности для точек и прямых плоскость .

Введенное понятие отношения между элементами двух множеств можно обобщить на случай n множеств, где n  2.

Определение 2. Пусть Х₁, Х₂, … , Х_n, где n2, – некоторые непустые множества, G – непустое подмножество декартова произведения Х₁Х₂…Х_n. Тогда картеж =(G, Х₁, Х₂, … , Х_n) называется n-местным или n-арным отношением между элементами множеств Х₁, Х₂, … , Х_n (при n=2 и n=3 отношение  называется соответственно бинарным и тернарным).

Если Х₁=Х₂=…=Х_n=Х, то  называется еще n-арным или n-местным отношением между элементами множества Х.

Про элементы а₁, а₂, …а_n, для которых (а₁, а₂, …а_n)G говорят, что они находятся в отношении ,  = (G, Х₁, Х₂, … , Х_n).

Пример 4. Пусть Х₁ и Х₃ – множества всевозможных окружностей плоскости , Х₂ – семейство всевозможных квадратов той же плоскости, G={(x₁, x₂, x₃)(Х₁Х₂Х₃)окружность х₃ вписана в квадрат х₂, который в свою очередь вписан в окружность х₁}. Тогда =(G, Х₁, Х₂, Х₃) – тернарное отношение между элементами множеств Х₁, Х₂, Х₃.