§3. Кортежи и декартовы произведения множеств

n1. Понятие кортежа

Понятие кортежа будем считать основным, неопределяемым (слово кортеж происходит от французского слова «cortege» – торжественное шествие). Ограничимся интуитивным описанием этого понятия.

Пусть имеем объекты: а₁, а₂, …, а_n, среди которых могут быть совпадающие, при этом, исходя из некоторых соображений, объект а₁ считается 1-ым, объект а₂ считается 2-ым, и так далее, наконец объект а_n считается n-ым. Тогда будем говорить, что имеем кортеж или упорядоченный набор (а₁; а₂; …; а_n) длины n, называя объекты а₁, а₂, …, а_n соответственно 1-ой, 2-ой, …, n-ой компонентами этого кортежа. Кортежи длины 2 иногда называют парами, длины 3 – тройками, длины 4 – четверками, и так далее.

(а₁; а₂;…; а_n) = (в₁; в₂;…; в_n) тогда и только тогда, когда а₁=в₁ и а₂=в₂ и ... и а_п=в_п.

Если а₁, а₂, а₃ – числа, то пару (а₁; а₂) можно изобразить точкой M(а₁; а₂) на координатной плоскости (0xy), а тройку (а₁; а₂; а₃) можно изобразить точкой N(а₁; а₂; а₃) в пространственной системе координат (0xyz).

n2. Декартовы произведения множеств

Определение 4. Пусть А₁, А₂, … А_n, где nN и n>1, – некоторые непустые множества. Декартовым произведением данных множеств называется множество, обозначаемое символом А₁А₂…А_n и состоящее из всевозможных кортежей вида (а₁, а₂, …, а_n), где а₁А₁, а₂А₂, … , а_nA_n. Если А₁=А₂=…=A_n=А, то вместо символа А₁А₂…A_n иногда используется символ Aⁿ, причем множество Aⁿ называется n-ой декартовой степенью множества А. Множества А² и А³ называется еще декартовым квадратом и кубом множества А соответственно.

Итак, А₁А₂ …A_n{(а₁; а₂; …; а_n) | а₁А₁ и а₂А₂ и … и а_nA_n}.

Если А₁, А₂, А₃ – числовые множества, то множество А₁А₂ можно изобразить на координатной плоскости (0ху) множеством {M(х; у) | хА₁ и уА₂}, а множество А₁А₂А₃ можно изобразить множеством {M(х; у; z)| хА₁ и уА₂ и zА₃} в пространственной системе координат (0xyz).

Пример. Найти АВ, если 1) А = {m; n; q} и В = {; }; 2) А=[2;3] и В=[1; +].

Решение. 1) АВ{(а; в) | аА и вВ} = {(m;  ); (m; ); (n;  ); (n; ); (q;  ); (q; )}.

2) АВ{(а; в) | 2a3 и в1}. Так как A и B – числовые множества, то декартово произведение AB можно изобразить на координатной плоскости (0ху) множеством {M(х; у) | хA и уB}, то есть множеством {M(х; у) | 2х3 и у1}. Сравнивая AB с множеством BA = {(а; в) | а1 и 2в3}, убеждаемся, что ABBA. Действительно, например, (2; 4)(АВ), но (2; 4)(ВА).

Как следует из рассмотренного выше примера, декартово произведение двух множеств не обладает свойством коммутативности.

n3. Размещения с повторениями и без повторений

Определение 5. Пусть X – данное n-элементное множество. Любой кортеж длины k, где k, nN, компоненты которого принадлежат множеству Х, называется размещением с (возможными) повторениями из n элементов множества Х по k. Любой кортеж длины k, где k, nN, k≤n, компоненты которого попарно различны и принадлежат множеству Х, называется размещением без повторений из n элементов множества Х по k. Всякое размещение без повторений n элементов множества Х по n называется еще перестановкой без повторений n элементов множества Х.

Символами , , P_n обозначаются соответственно число всех размещений с (возможными) повторениями из n элементов по k, число всех размещений без повторений из n элементов по k и число всех перестановок без повторений n элементов множества Х.

Согласно этому определению семейство всех размещений с (возможными) повторениями из n элементов множества Х по k совпадает с декартовой степенью Х^k и включает в себя семейство всех размещений без повторений из n элементов множества Х по k.

Если n, kN, то имеет место формула: = n^k.

Если же n, kN и kn, то = n (n–1)(n–k+1).

Полагая в последней формуле k=n, получаем формулу для вычисления общего числа перестановок без повторений n элементов множества Х: Р_n==n(n–1)(n–2)…21=n!, то есть Р_n= n! (для натурального числа n произведение 123…(n–1) n обозначается символом n! и называется n-факториалом; например, 5! 12345=120).

Пример. Для множества Х={; ; ; ; } привести примеры размещений с (возможными) повторениями и без повторений, перестановки его элементов. Вычислить , и Р₅.

Решение. ( ; ; ; ; ; ; ), (; ; ) – размещения с (возможными) повторениями из 5-ти элементов множества Х по 6 и 3 соответственно.

(; ; ; ), (; ; ) – размещение без повторений из 5-ти элементов множества Х по 4 и 3 соответственно.

(; ; ; ;  ) и ( ; ; ; ; ) – перестановки без повторений данных 5-ти элементов множества X.

По приведенным выше формулам находим, что =5³=125, =54(5–3+1)=543=60 и Р₅=5!=12345=120.