§3. Бинарные отношения между элементами данного множества. Отношения эквивалентности

n1. Некоторые разновидности бинарных отношений между элементами данного множества

В результате сравнения различных отношений между элементами данного множества (См. определение 1 из §1) выделяются ряд разновидностей таких отношений.

Определение 1. Пусть  бинарное отношение между элементами множества М. Это отношение называют:

1) рефлексивным, если истинно высказывание хМ (х  х), то есть хМ  х  х;

2) симметричным, если истинно высказывание х, уМ (х  у  у  х), то есть х, уМ  х  у  у  х;

3) транзитивным, если истинно высказывание х, у, zМ (х  у   у  z  x  z), то есть х, у, z М  х  у  у  z  x  z;

4) антирефлексивным, если истинно высказывание  хМ (х  х), то есть хМ  (х  х);

5) антисимметричным, если истинно высказывание  х, у  М (х  у   у  х  x = y), то есть х, уМ  х  у  у  х  x = y;

6) связным, если истинно высказывание  х, у  М (x  y  х  у   у  х), то есть х, у  М  x  y  х  у  у  х;

7) отношением эквивалентности, если  является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным;

8) отношением порядка (частичного порядка), если  является одновременно рефлексивным, антисимметричным и транзитивным;

9) отношением линейного порядка, если  является рефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связным, то есть является связным отношением порядка.

Если заданно некоторое отношение порядка (линейного порядка) между элементами множества М, то множество М называется упорядоченным (линейно упорядоченным).

Если  – отношение эквивалентности между элементами множества М, то вместо записи х  у использую записи х у или х ~ у (чтение последней записи «х эквивалентно у»).

Пример 1. Пусть М – семейство всех числовых множеств;  – отношение между элементами множества М, задаваемое условием: ХY  XY.

Это отношение является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, так как:

XM  XX  XX;

X, YM  XY  YX XY  YX X=Y;

X, Y, ZM  XY  YZ  XY  YZ  XZ XZ.

Следовательно, отношение  является отношением порядка, а М – упорядоченным множеством.

Отношение  не является симметричным. Действительно, для множеств Х₀[2, 5] и Y₀ (0; +) импликация Х₀Y₀  Y₀X₀ ложна, поэтому высказывание X, YM (ХY  YX) ложно. Но тогда согласно определению 1  не является и отношением эквивалентности.

Так как для числовых множеств Х₁[0; 2] и Y₁[5; 10) импликация Х₁Y₁  Х₁Y₁  Y₁Х₁ ложна, то  не является связным, а следовательно, и не является отношением линейного порядка.

Пример 2. Пусть М – семейство всех лучей плоскости ;  – отношение между элементами множества М, задаваемое условием х  у  ху (где запись ху обозначает сонаправленность лучей х и у).

Убеждаемся, что  является отношением эквивалентности, то есть является рефлексивным, симметричным и транзитивным одновременно.

Взяв в качестве х₀ и у₀ какие-либо сонаправленные различные лучи плоскости , приходим к ложной импликации: (х₀у₀  у₀х₀)  х₀у₀. Следовательно, ложно высказывание х, уМ (х  у  у  х  x=y), то есть  не является антисимметричным. Но тогда  не является отношением порядка и отношением линейного порядка.

Из существования на плоскости несонапраленных лучей следует несвязность отношения .

n2. Классы эквивалентности и их основные свойства

Определение 2. Если  – отношение эквивалентности между элементами множества М, и а – какой-либо элемент множества М, то множество К_а{xM | a  х} называется классом эквивалентности множества М по отношению , порожденным элементом а. Семейство всевозможных классов эквивалентности множества М по отношению  обозначают символом М/_ и называется фактор-множеством множества М по отношению .

Для отношения  сонаправленности лучей данной плоскости , рассмотренного в примере 2 , класс эквивалентности К_а, порожденный лучом а, а, представляет семейство всех лучей плоскости, которым сонаправлен луч а, называемое направлением плоскости .

Ниже устанавливается ряд важнейших свойств классов эквивалентности и фактор множества.

Теорема 1. Пусть  – отношение эквивалентности между элементами множества М. Тогда любые два класса эквивалентности множества М по отношению  совпадают или не пересекаются, а именно, а, вМ   а  в  К_а=К_в; а, вМ  (а  в)  К_аК_в=.

Доказательство. Пусть  – отношение эквивалентности между элементами множества М, то есть  является одновременно рефлексивным (реф.), симметричным (сим.) и транзитивным (тр.) отношением.

1) Рассмотрим случай, когда а, вМ  а  в.

В этом случае хК_аа  в  а  хв  а  а  хв  ххК_в. Но тогда К_аК_в.

Меняя ролями а и в в проведенных выше рассуждениях, убеждаемся, что К_вК_а.

Из включений К_аК_в и К_вК_а следует равенство К_а=К_в.

Итак, истинно высказывание а, вМ (а  в  К_а=К_в), что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим случай, когда а, вМ  (а  в). Докажем, что в этом случае К_аК_в=, воспользовавшись методом «от противного» (n2 §4 глава 2).

Итак, требуется доказать теорему a, b  M (P(a, b) Q(a, b)), где P(a, b) = (а  в) и Q(a, b) = К_аК_в=. Доказательство этой теоремы можно заменить доказательством следующей теоремы a, b  M (P(a, b) Q(a, b)  P(a, b)), то есть  a, b  M ((а  в) К_аК_в  а  в).

а, вМ  К_аК_вх₀М (х₀К_а  х₀К_в) х₀М (а  х₀   в  х₀) х₀М (а  х₀  х₀  в) а  в, что и требовалось доказать. Теорема доказана. ■

Теорема 2. Пусть  – отношение эквивалентности между элементами множества М. Тогда фактор-множество М/_ является разбиением множества М.

Доказательство. Итак,  – отношение эквивалентности между элементами множества М, то есть  является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Убедимся, что семейство М/ является разбиением множества М, то есть элементы этого семейства не пусты, попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с М.

1) аМа  а  а{xM | a  x}aК_а  К_а. Следовательно, все элементы семейства М/ не пусты.

2) По теореме 1 различные классы эквивалентности множества М по отношению  не пересекаются, то есть элементы семейства М/ попарно не пересекаются.

3) Пусть К – объединение всех классов эквивалентности множества М по отношению . Тогда К_а(М/)  К_а{xM | a  x}M, а поэтому согласно определениям объединения и включения для множеств имеем КМ.

С другой стороны, хМ хК_хК  хК, а поэтому МК.

Из включений КМ и МК следует равенство К=М.

Тогда из 1) – 3) и определения разбиения данного множества следует, что М/ – разбиение множества М, что и требовалось доказать. Теорема доказана. ■

Теорема 3. (обратная для теоремы 2). Любое разбиение множества М можно рассматривать как фактор-множество множества М по некоторому отношению .

Доказательство. Пусть  – некоторое разбиение непустого множества М, то есть  – семейство, состоящее из некоторых непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества М, объединение которых совпадает с М.

Введем в рассмотрение отношение  между элементами множества М, задаваемое условием: х  у _{(элементы х и у принадлежат одному и тому же классу разбиения ). Убедимся, что  – отношение эквивалентности между элементами М, причем  = М/.}

_{1) Так как объединение всех классов разбиения  совпадает с М, то произвольный элемент х множества М принадлежит некоторому классу М0 разбиения . Элементы х и х принадлежат одному и тому же классу М0 разбиения , и поэтому согласно определению отношения  имеем х  х. Итак, истинно высказывание хМ (х  х), что означает рефлексивность отношения .}

_{2) Из принадлежности одному и тому же классу разбиения  произвольных двух элементов х, у множества М очевидным образом следует принадлежность тому же множеству элементов у и х. Тогда по определению отношения  истинно высказывание х, уМ (х  у  у  х), что означает симметричность отношения .}

_{3) Так как классы разбиения  попарно не пересекаются, то по определению отношения  имеем x, y, z  M  x  y  y  z  (x и у принадлежат одному и тому же классу разбиения )  (у и z принадлежат одному и тому же классу разбиения )  (элементы x, y, z принадлежат одному и тому же классу разбиения )  x  z.}

_{Итак, истинно высказывание: x, y, zM ( x  y  y  z  x  z), что означает транзитивность отношения .}

_{Из 1) – 3) следует, что  – отношение эквивалентности между элементами множества М.}

Пусть М₀ – некоторый класс разбиения  и а – какой- либо элемент этого класса (напомним, что М₀). Так как классы разбиения  попарно не пересекаются, то М₀={xM | a и х принадлежат одному и тому же классу разбиения }{xM | a  x}K_a(M/_).

Итак, истинно высказывание М₀ (М₀(М/)), то есть (М/_).

Если К_а – какой-либо класс эквивалентности по отношению , порожденный элементом а множества М, то по определению разбиения данного множества а принадлежит единственному классу М₀ разбиения , и поэтому К_а{xM | элементы а и х принадлежат одному и тому же классу разбиения }=M₀.

Итак, истинно высказывание: К_а(М/) (К_а), то есть (М/) .

Из включений (М/_) и (М/_) и следует требуемое равенство =М/_, где  – отношение эквивалентности между элементами множества М. Теорема доказана. ■

Приложение 1