Решение системы дифференциальных уравнений с использованием матричной экспоненты в MathCad.

Рассмотрим следующую последовательность операторов MathCad:

Здесь представлены функции, предназначенные для аналитического решения системы дифференциальных уравнений (1.11) Полагаем, что рассматриваемой последовательности операторов предшествует фрагмент кода, рассмотренный в п.1.3 и функции расчета необходимых матриц введены.

Первым следует оператор определения скалярной «физически реализуемой» экспоненты EX(a,t), за ним идут операторы задания функций расчета вектора собственных чисел Λ(L,C,R1,R2,R3,R4) и матрицы собственных векторов T(L,C,R1,R2,R3,R4). Заметим, что у этих функций сохранен тот же список аргументов, что и у функции расчета матрицы системы. Это связано с тем, что в применяемых встроенных функциях eigenvals и eigenvecs в качестве матрицы-аргумента используется результат работы функции A(L,C,R1,R2,R3,R4). У вводимых далее функций список аргументов еще более удлиняется, дополняясь временем t. Последний оператор в этом фрагменте определяет функцию расчета матричной экспоненты Ф(L,C,R1,R2,R3,R4,t).

На рисунке 2.1 приведены графики функций времени - элементов матричной экспоненты. Матричная экспонента рассчитана при следующих значениях параметров:

R1= 10 ом; R2 = 400 ом; R3 = 5 ом; R4=800 ом;

L=0.025 гн; C=510^-6 Ф.

При таком сочетании параметров собственные числа матрицы A являются комплексными и образуют комплексно-сопряженную пару:

,

что обусловливает колебательный характер переходного процесса в цепи, наблюдающийся на графиках рис. 2.1.

Функции, представленные на графиках являются решениями однородного ДУ. Составляющие матричной экспоненты Ф(L,C,R1,R2,R3,R4,t)_0,0. и Ф(L,C,R1,R2,R3,R4,t)_1,0. представляют собой колебания iL(t) и Uc(t), соответственно, при начальных условиях iL(0) = 1А и Uc(0) = 0.

Функции Ф(L,C,R1,R2,R3,R4,t)_0,1. и Ф(L,C,R1,R2,R3,R4,t)_1,1.- это те же iL(t) и Uc(t), но при начальных условиях iL(0) = 0 и Uc(0) = 1 V.

Рис. 2.1. Составляющие матричной экспоненты

Собственные числа, колебательный характер переходного процесса и резонансные явления.

В случае некратных собственных чисел матрицы A, любая компонента решения системы однородных ДУ x_i(t), представляющая переходный процесс, выражается линейной комбинацией экспонент:

, (2.34)

где λ_k – собственные числа матриц A;

q_ik – постоянные числа;

n – порядок системы ДУ, размер матрицы A.

Для всех вариантов схем предлагаемого курсового проекта порядок системы ДУ равен 2.

Собственные числа могут быть вещественными или образовывать комплексно – сопряженные пары.

В случае комплексно – сопряженных собственных чисел λ_1,2 переходный процесс образован синусоидами вида:

Ue^Re(λ)t sin(Im(λ)t +φ),

где λ – любое из комплексно – сопряженных чисел λ₁ или λ₂,

Re(λ) и Im(λ) реальная и мнимая части λ,

U и φ – постоянные величины, не зависящие от λ.

Величину ω₀ = Im(λ) называют угловой частотой собственных колебаний, величину α = Re(λ), при α < 0, называют затуханием переходного процесса. Иногда для характеристики процесса вместо α используют обратную ей величину – постоянную времени τ, имеющую размерность времени:

. (2.35)

Очевидно, чем больше τ , тем медленнее затухает переходный процесс. Величина τ – это промежуток времени, за который амплитуда составляющей переходного процесса, связанной с данным λ уменьшиться в e раз.

С круговой частотой ω₀ связана обычная частота f₀ , измеряемая в герцах, и период собственных колебаний T₀, измеряемый в секундах:

(2.36)

Очевидно, что при | Im(λ)| = 0 (случай чисто вещественных собственных чисел), колебаний в переходном процессе не будет, и он будет иметь апериодический характер.

Как отмечалось в п. 1, в схемах с колебательным переходным процессом и периодическим внешним воздействием наблюдается явление резонанса, когда период внешнего воздействия и период собственных колебаний будут находиться в целочисленном соотношении, в частном случае, когда эти периоды совпадут.

В дальнейшем нас будут интересовать схемы с резонансом, т.е. схемы с колебательным характером переходного процесса. Этого необходимо достигнуть выбором величин сопротивлений.