Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Матан 7.doc

Скачиваний:

Добавлен:

07.11.2018

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда

В общем случае степенной ряд имеет вид

где  постоянные величины, х – переменная величина.

В частном случае при ряд имеет вид

При конкретных значениях х ряд является числовым и можно исследовать его сходимость и находить область его сходимости.

Теорема 9.2. (Теорема Абеля). 1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится также при любых значениях х, для которых . 2. Если степенной ряд расходится при , то он также расходится при любых значениях х, для которых .

Д ок а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть степенной ряд сходится при , т. е. ряд является сходящимся. Тогда его члены ограничены при любых значениях степени n, т. е. , где .

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда

Покажем, что этот ряд сходится, если . Преобразуем все его члены следующим образом: , а также учтем, что при все его члены ограничены величиной М. Тогда можно записать неравенство



При ряд представляет бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , которая сходится. Следовательно, сходится ряд .

Ввиду того, что члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по теореме 8.2 этот ряд сходится.

В соответствии с теоремой 8.8 об абсолютной сходимости ряда сходится также исходный ряд , причем абсолютно.

2. Пусть теперь ряд расходится при , т. е. расходится ряд . Докажем от противного, что при ряд расходится. Предположим, что при исходный ряд сходится. Тогда по доказанному в первой части настоящей теоремы он должен сходится также и при меньших по модулю значениях х, т. е. при . В этом и состоит противоречие.

Теорема Абеля является теоремой о виде области сходимости степенного ряда, так как если ряд сходится при , то он сходится и при , т. е. при . Следовательно, область сходимости симметрична относительно начала координат (рис. 85).

Рис. 85

9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится, если , и расходится, если .

Для нахождения радиуса сходимости R составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим признак Даламбера. Найдем

В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.

и расходится, если .

Отсюда следует, что радиус сходимости равен

При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле и коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n и n+1, а не члены ряда.

С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости .

Пример 9.1. Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).

При ряд является гармоническим. Как известно он расходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.2. Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

Интервал сходимости .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Его сходимость исследуем по интегральному признаку Коши. Находим

Интеграл сходится и ряд сходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.3. Найти область сходимости ряда .

Введем новую переменную , ряд примет вид .

Найдем радиус сходимости этого ряда.

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Ряд расходится, так как степень n в знаменателе (см. пример 8.12).

Область сходимости ряда . Переходим к исходной переменной:

Область сходимости исходного ряда .

В отдельных случаях степенные ряды могут содержать только четные степени переменной или нечетные степени. Для нахождения радиуса сходимости ряда в таком случае составляется ряд из абсолютных величин этого ряда, а затем применяется признак Даламбера.