8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 8. 5. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:

1. если  < 1, то ряд сходится; 2) если  > 1, то ряд расходится;

3) если  = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если  < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству  < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q, т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.

2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше , т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение больше q, т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.

Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.

Пример 8.7. Исследовать сходимость ряда .

Находим . Следовательно, ряд сходится.

Пример 8.8. Исследовать сходимость ряда .

Находим

.

Ряд сходится.

Пример 8.9. Исследовать сходимость ряда .

Найдем предел . При этом воспользуемся правилом Лопиталя.

Находим

.

В данном случае признак Даламбера не позволяет решить вопрос о сходимости ряда.

Пример 8.10. Исследовать сходимость ряда .

Найдем предел . При этом воспользуемся вторым замечательным пределом. Находим

.

Следовательно, ряд сходится.

Пример 8.11. Исследовать сходимость ряда .

Находим

.

Ряд сходится.

8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда

Теорема 8.5. Если для знакоположительного ряда существует предел, то: 1) если  < 1, то ряд сходится; 2) если  > 1, то ряд расходится; 3) если  = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть . Если  < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству  < q < 1. Тогда по определению предела существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия сходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд сходится.

2. Пусть . Если  > 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству 1 < q < . Тогда существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия расходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд расходится.

Пример 8. 12. Исследовать сходимость ряда .

Находим . Ряд сходится.