7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения
зависит от вида
правой части этого уравнения (функции
)
и от величин корней характеристического
уравнения.
Рассмотрим
нахождение частного решения для двух
видов функции
.
Случай 1. Правая часть уравнения
,
где
вещественное значение,
многочлен m-й
степени.
В этом случае частное решение уравнения ищется в виде
где
многочлен m-й
степени,
s
степень кратности корня характеристического
уравнения
.
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то s
= 0.
Пример 7. 25.
Решить уравнение
.
Характеристическое
уравнение однородного уравнения
имеет один корень
кратности 2. Поэтому общее решение
однородного уравнения имеет вид
.
Находим частное
решение неоднородного уравнения. Правая
часть уравнения
,
т. е.
.
Данное значение
не является корнем характеристического
уравнения (следовательно, его кратность
s
= 0). В этом случае частное решение ищется
в виде
.
Находим производные
и подставляем их в исходное уравнение
.
Делим это уравнение
на
,
имеем
.
Отсюда
.
Записываем частное
решение
и общее решение
.
Пример 7. 26.
Решить уравнение
.
Общее решение
неоднородного уравнения равняется
сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения
.
Найдем общее
решение однородного уравнения
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
.
Общее решение
.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде
,
где показатель
степени
в функции
равен
= 0. Это значение совпадает с корнем
характеристического уравнения
,
т. е. является его корнем кратности s
= 1. Поэтому частное решение нужно искать
в виде
.
Находим производные
этой функции
и подставляем их в исходное уравнение.
Получаем
.
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
х
(
и
)
в левой и правой частях уравнения
Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B
Отсюда
,
.
Записываем частное решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
,
где и вещественные значения,
и
многочлены степени
и
соответственно.
В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
,
многочлены
степени
,
s
кратность корня характеристического
уравнения
,
где
совпадает с числом
в показателе степени
в функции
правой части уравнения. Если
в
не совпадает с
,
то s
= 0.
Пример 7. 27.
Решить уравнение
.
Характеристическое
уравнение
имеет комплексно-сопряженные корни
.
Поэтому общее решение однородного
уравнения
имеет вид
.
Ищем частное
решение неоднородного уравнения. Правая
часть уравнения
,
т. е.
= 0. Значение
= 0 не совпадает с реальной частью корней
характеристического уравнения
,
поэтому s
= 0. Частное решение необходимо искать
в виде
,
где А и В постоянные величины.
Находим производные
,
подставляем их в исходное неоднородное
уравнение
.
Приравниваем коэффициенты при sinx и cosx в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.
,
.
Записываем частное решение
и общее решение
.