7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
В формуле
,
где x
и
y
действительные числа, примем х
= 0. Получим формулу
,
которая называется формулой Эйлера.
Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме
,
где r – модуль комплексного числа, а его аргумент.
Если в этой формуле
Эйлера заменить y
на
y,
тогда получим
.
Решим систему
относительно cosy, siny. Сложим и вычтем уравнения, получим
.
Отсюда следуют формулы
.
7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение
неоднородного уравнения, как было
показано ранее (теорема 7.4),
находится как сумма
общего решения
однородного уравнения и частного
решения
неоднородного уравнения, т. е.
,
где
линейно независимые решения однородного
уравнения;
произвольные
постоянные;
частное решение
исходного неоднородного уравнения.
В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
,
где
постоянные величины.
Частные решения однородного уравнения ищут в виде
.
Производные этой функции равны
.
Подставляем
функцию
и ее производные в однородное уравнение
.
Делим это уравнение
на
,
получаем уравнение
.
Данное уравнение называется характеристическим.
Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-ой степени относительно . Любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.
Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.
Случай 1.
Все корни характеристического уравнения
вещественные различные.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений
.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
или
,
где
произвольные постоянные.
Пример 7. 22.
Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни
.
Имеем два частных решения
,
.
Записываем общее решение
.
Случай 2.
Характеристическое уравнение имеет
пару комплексно-сопряженных корней
,
где
.
Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения
,
.
Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или
.
Пример 7. 23.
Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни
,
где
.
Уравнение имеет два частных линейно
независимых решения
.
Записываем общее решение
или
.
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень кратности k.
Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 7. 24.
Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Оно имеет
действительный корень
кратности k
= 2. Ему
соответствует два линейно независимых
частные решения
.
Общее решение
.
Случай 4.
Характеристическое уравнение имеет
пару комплексно-сопряженных корней
кратности k.
Тогда этим корням соответствует 2k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или
Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
.
Уравнение имеет
два корня
кратности k
= 2.
Общее решение уравнения имеет вид
.